Aus einem frequentistischen Ergebnis einen Bayesianischen Prior machen

Wie sollte man ein frequentistisches Ergebnis in einen bayesianischen Prior verwandeln?

Stellen Sie sich das folgende ziemlich allgemeine Szenario vor: In der Vergangenheit wurde ein Experiment durchgeführt und ein Ergebnis für einen Parameter $\phi$ gemessen. Die Analyse wurde mit einer frequentistischen Methodik durchgeführt. Ein Konfidenzintervall für $\phi$ ist in den Ergebnissen angegeben.

Ich führe jetzt ein neues Experiment durch, bei dem ich einige andere Parameter messen möchte, z. B. $\theta$ und $\phi$ . Mein Experiment unterscheidet sich von der vorherigen Studie - es wird nicht mit der gleichen Methodik durchgeführt. Ich würde gerne eine Bayes'sche Analyse durchführen und muss daher $\theta$ und ϕ mit Prioren versehen$\phi$ .

Keine vorherigen Messungen von $\theta$ durchgeführt, daher setze ich eine uninformative (sagen wir ihre Uniform) voran.

Wie bereits erwähnt, gibt es ein vorheriges Ergebnis für $\phi$ , das als Konfidenzintervall angegeben ist. Um dieses Ergebnis in meiner aktuellen Analyse zu verwenden, müsste ich das vorherige Ergebnis des Frequentisten in einen informativen Prior für meine Analyse übersetzen.

Eine Möglichkeit , die in diesem Szenario aus nicht verfügbar ist , ist die vorherige Analyse zu wiederholen , dass auf die führte $\phi$ in einem Bayes - Mode - Messung. Wenn ich dies tun könnte, $\phi$ würde ein posterior aus dem vorherigen Experiment hat , dass ich dann als meine vorherigen verwenden würde, und es gäbe keine Frage sein.

Wie soll ich das frequentistische CI für meine Analyse in eine bayesianische Vorabverteilung übersetzen? Oder mit anderen Worten, wie könnte ich ihr häufigstes Ergebnis am $\phi$ in ein posteriores am ϕ übersetzen $\phi$ , dass ich dann als vor meiner Analyse verwenden würde?

Alle Erkenntnisse oder Referenzen, die diese Art von Problem behandeln, sind willkommen.

Kurzfassung: Nehmen Sie einen Gaußschen Wert, der auf der vorherigen Schätzung zentriert ist, mit std. dev. gleich dem CI.

Lange Version: Let der wahre Wert des Parameters, und sei φ die Schätzung , dass Sie haben. Man nehme a priori eine einheitliche Zahl vor P ( ϕ ) = c t . Sie möchten die Verteilung der wissen , φ 0 gegeben , dass eine Schätzung φ bereits erzielt:$\phi_0$$\hat \phi$$P(\phi)=ct$$\phi_0$$\hat \phi$

Nundie einzige Abhängigkeit vonφ0istin dem AusdruckP

$$P(\phi_0|\hat\phi)=\frac{P(\hat\phi|\phi_0)P(\phi_0)}{P(\hat \phi)}\\ =P(\hat\phi|\phi_0) \frac{ct}{P(\hat \phi)}$$ $\phi_0$, der Resteine Normierungskonstante. UnterAnnahmedie φ wird einen MaximumLikelihoodSchätzer (oder einen anderen konsistenten Schätzer), können wir die folgenden Tatsachen verwenden:$P(\hat\phi|\phi_0)$$\hat\phi$

1. Wenn die Anzahl der Beobachtungen zunimmt, ist der MLE asymptotisch
2. Es ist asymptotisch unbefangen (zentriert auf den wahren Wert ),$\phi_0$
3. Sie schwankt um mit einer Varianz, die der inversen Fisher-Information der vorherigen Beobachtungen entspricht, und das hätte ich als CI (Quadrat) verwendet.$\phi_0$

Anders ausgedrückt: Der Bayesianische Posterior und die Verteilung eines konsistenten und effizienten Schätzers werden asymptotisch gleich.

$t$$t$$\sigma^2$$S^2(n-p)/\sigma^2$$\propto 1/\sigma^2$