Wie füge ich zwei abhängige Zufallsvariablen hinzu?

Ich weiß, ich kann Faltung nicht verwenden. Ich habe zwei Zufallsvariablen A und B und sie sind abhängig. Ich benötige die Verteilungsfunktion von A + B

random-variable non-independent

— Mesko
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Wenn A und B abhängig sind, ist eine gemeinsame Verteilung von A und B erforderlich, um die Verteilung von A + B zu erhalten.

— Vinux

Ich verstehe deine Frage nicht. Was weißt du und warum kannst du Faltung nicht benutzen?

— Xi'an,

Ich kenne die Verteilungsfunktion von A und B. f A und B sind zwei unabhängige, stetige Zufallsvariablen. Dann kann ich die Verteilung von Z = A + B finden, indem ich die Faltung von f (A) und g (B) nehme: h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞ - ∞ f (A) g (z - B) dA Aber was kann ich tun, wenn sie nicht unabhängig sind? Es tut mir leid, wenn dies eine blöde Frage ist.

— Mesko

Es ist keine blöde Frage, Mesko, aber was die Leute darauf hinweisen, ist, dass es mehr Informationen braucht. Die Antwort hängt davon ab, wie

und

nicht unabhängig sind. Eine vollständige Beschreibung davon liefert die gemeinsame Verteilung von

und

, was vinux fragt. Xi'an prüft etwas feiner, sucht aber genau die gleichen Informationen, um Ihnen dabei zu helfen, Fortschritte zu erzielen.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

Antworten:

Wie vinux betont, braucht man die gemeinsame Verteilung von und , und aus OP Meskos Antwort "Ich kenne die Verteilungsfunktion von A und B" geht nicht hervor, dass er die gemeinsame Verteilung von A und B kennt : er kann Gut zu sagen, dass er die Randverteilungen von A und B kennt. Unter der Annahme, dass Mesko die gemeinsame Verteilung kennt, wird die Antwort unten gegeben. $A$ $B$

Aus dem Faltungsintegral in OP Meskos Kommentar (was übrigens falsch ist) lässt sich schließen, dass Mesko an gemeinsam stetigen Zufallsvariablen und mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion interessiert ist . In diesem Fall kann $A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$ Wennundunabhängig sind, geht die Gelenkdichtefunktion in das Produkt der Randdichtefunktionen ein:

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ und wir bekommen die bekanntere Faltungsformel für unabhängige Zufallsvariablen. Ein ähnliches Ergebnis gilt auch für diskrete Zufallsvariablen.

$A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ $F_{A+B}(z)$

— Dilip Sarwate
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Dies hängt mit meinem Kommentar und meiner Antwort auf eine andere Frage zusammen, die sich vor ein paar Tagen mit gemeinsamen Verteilungen befasste.

— Xi'an

Vorher weiß ich nicht, ob das, was ich sage, richtig ist, aber ich bin an dem gleichen Problem hängen geblieben und habe versucht, es auf diese Weise zu lösen:

f_{A, B} (a, b) = (a + b) H (a, b) H (- a + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$ Now you can perform the integral without caring about limits of integration.

This is the wolfram rapresentation of the joint : A

Computing the integral I have : B

Plotted : C

That's the function :

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$ and it's normalized as you can easily check.

— R.Lac
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The question did nt seem to be specific enough about the joint distribution to get an answer. How did you come up with one.?

— Michael R. Chernick

+1 for correctly solving the alleged counterexample in @cdlg's answer and showing that the calculations if carried out correctly do give the correct answer, and not the erroneous s results in cdlg's answer. I can't believe that that answer has received two upvotes.

— Dilip Sarwate