Eine dynamische Systemansicht des zentralen Grenzwertsatzes?

(Ursprünglich auf MSE gepostet .)

Ich habe viele heuristische Diskussionen über den klassischen zentralen Grenzwertsatz gesehen, die von der Normalverteilung (oder einer der stabilen Verteilungen) als einem "Attraktor" im Raum der Wahrscheinlichkeitsdichten sprechen. Betrachten Sie zum Beispiel diese Sätze ganz oben in der Behandlung von Wikipedia :

Im allgemeinen Sprachgebrauch ist ein zentraler Grenzwertsatz ein Satz von schwachen Konvergenzsätzen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie alle drücken die Tatsache aus, dass eine Summe vieler unabhängiger und identisch verteilter (iid) Zufallsvariablen oder alternativ Zufallsvariablen mit bestimmten Arten von Abhängigkeiten tendenziell nach einer kleinen Menge von Attraktorverteilungen verteilt wird . Wenn die Varianz der iid-Variablen endlich ist, ist die Attraktorverteilung die Normalverteilung.

Diese dynamische Systemsprache ist sehr suggestiv. Feller spricht auch von "Anziehung" in seiner Behandlung des CLT in seinem zweiten Band (ich frage mich, ob das die Quelle der Sprache ist), und Yuval Flimus spricht in dieser Notiz sogar vom "Becken der Anziehung". (Ich denke nicht, dass er wirklich "die genaue Form des Anziehungsbeckens ist vorher ableitbar" meint, sondern "die genaue Form des Attraktors ist vorher ableitbar"; dennoch ist die Sprache da.) Meine Frage ist: Können diese dynamische Analogien präzise gemacht werden?Ich kenne kein Buch, in dem sie vorkommen - obwohl in vielen Büchern betont wird, dass die Normalverteilung speziell für ihre Stabilität unter Faltung (sowie für ihre Stabilität unter der Fourier-Transformation) ist. Dies sagt uns im Grunde, dass das Normale wichtig ist, weil es ein fester Punkt ist. Das CLT geht noch weiter und sagt uns, dass es nicht nur ein Fixpunkt, sondern ein Attraktor ist.

Um dieses geometrische Bild zu präzisieren, stelle ich mir vor, der Phasenraum sei ein geeigneter unendlichdimensionaler Funktionsraum (der Raum der Wahrscheinlichkeitsdichten) und der Evolutionsoperator eine wiederholte Faltung mit einer Anfangsbedingung. Aber ich habe kein Verständnis für die technischen Details, die erforderlich sind, um dieses Bild zum Laufen zu bringen, oder ob es sich lohnt, es zu verfolgen.

Ich würde vermuten, dass, da ich keine Behandlung finde, die diesen Ansatz ausdrücklich verfolgt, irgendetwas an meinem Gefühl falsch sein muss, dass dies möglich oder interessant ist. In diesem Fall würde ich gerne wissen, warum.

BEARBEITEN : Es gibt drei ähnliche Fragen in Math Stack Exchange und MathOverflow, an denen Leser interessiert sein könnten:

• Gaußsche Verteilungen als Fixpunkte im Some Distribution Space (MO)
• Zentraler Grenzwertsatz über maximale Entropie (MO)
• Gibt es einen Beweis für den zentralen Grenzwertsatz über einen festen Punktsatz? (MSE)

Nach einigem Durchstöbern der Literatur, angeregt durch Kjetils Antwort, habe ich neben dem Buch von Y. Sinai einige Referenzen gefunden, die den Ansatz geometrischer / dynamischer Systeme zum CLT ernst nehmen. Ich poste, was ich für andere Interessierte gefunden habe, aber ich hoffe immer noch, von einem Experten über den Wert dieses Standpunkts zu hören.

Der bedeutendste Einfluss scheint auf die Arbeit von Charles Stein zurückzuführen zu sein. Die direkteste Antwort auf meine Frage scheinen jedoch Hamedani und Walter zu sein, die eine Metrik für den Raum der Verteilungsfunktionen aufstellen und zeigen, dass die Faltung eine Kontraktion erzeugt, die die Normalverteilung als eindeutigen Fixpunkt ergibt.

• M. Anshelevich, Die Linearisierung des zentralen Grenzwertoperators in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie , arXiv: math / 9810047v2.
• LHY Chen, L. Goldstein und Q. Shao, Normale Annäherung nach Steins Methode , Springer, 2011.
• JA Goldstein, Semigruppentheoretische Beweise des zentralen Grenzwertsatzes und anderer Analysesätze , Semigroup Forum 12 (1976), Nr. 3, 189–206.
• GG Hamedani und GG Walter, Ein Fixpunktsatz und seine Anwendung auf den zentralen Grenzwertsatz , Arch. Mathematik. (Basel) 43 (1984), Nr. 3, 258–264.
• S. Swaminathan, Fixpunkttheoretische Beweise des zentralen Grenzwertsatzes, in Fixed Point Theory and Applications (Marseille, 1989), Pitman Res. Anmerkungen Math. Ser., Vol. 252, Longman Sci. Tech., Harlow, 1991, S. 391–396. Zitiert in Karl Stromberg, Wahrscheinlichkeit für Analysten, Seite 114 .

HINZUGEFÜGT 19. Oktober 2018.

Eine weitere Quelle für diese Sichtweise ist Oliver Knills Probability and Stochastic Processes with Applications , S.3. 11 (Hervorhebung hinzugefügt):

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$. Dies funktioniert auch in anderen Situationen. Beispielsweise für kreiswertige Zufallsvariablen maximiert die gleichmäßige Verteilung die Entropie. Es ist daher nicht überraschend, dass es einen zentralen Grenzwertsatz für kreiswertige Zufallsvariablen mit der Gleichverteilung als Grenzverteilung gibt.

Der Text "Wahrscheinlichkeitstheorie und Einführungskurs" von Y Sinai (Springer) behandelt die CLT auf diese Weise.

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

Die Idee ist (aus dem Gedächtnis ...), dass

$A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$