Verteilung eines Polynoms zweiten Grades einer Gaußschen Zufallsvariablen

Ich möchte berechnen

P (Y = a X^{2} + b X + c < 0)

$P(Y=aX^2+bX+c<0)$

wobei . Ich kann es ganz einfach mit Monte Carlo machen. Ich wurde jedoch gebeten, das analytische PDF von und dann zu berechnen $X \sim N(0,\sigma)$ $f_Y(y)$ $Y$

I = \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y

$I=\int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy$

Ich denke, wird so sein, dass nur numerisch berechnet werden kann. Da es sich jedoch um ein univariates Integral handelt, stehen numerische Methoden zur Verfügung, um es mit sehr hoher Genauigkeit zu berechnen. Gibt es einen (relativ einfachen) Ausdruck für , damit ich eine numerische Integration durchführen kann? Oder gibt es neben Monte Carlo (was meiner Meinung nach der sinnvollste Ansatz ist) eine andere Möglichkeit, zu berechnen ? $f_Y(y)$ $I$ $f_Y(y)$ $I$

— DeltaIV
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Haben Sie haben , um die pdf von finden zuerst und dann über die negative Real Linie integrieren oder können Sie mit der Methode von mpiktas wies darauf hin, das die pdf von vermeidet finden ?

Y

$Y$

Y

$Y$

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate, danke für die Frage. Ich wurde ausdrücklich gebeten, 1. und 2. über . Eine Antwort, die genau das tut, wäre also großartig. Andererseits kann ich darauf hinweisen, dass die Anfrage nicht zumutbar ist und dass ich bereits zwei sehr nette Methoden (MC und @mpiktas) habe, die gut funktionieren. Somit ist die Antwort auf Ihre Frage: Ich habe nicht unbedingt müssen (ich bin nicht gefeuert zu werden, wenn ich nicht), aber ich würde sicher zu schätzen in der Lage zu tun (also noch ein weitere Diskussion mit dem Anforderer zu vermeiden) .

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

[- \infty, 0]

$[-\infty,0]$

— DeltaIV

OK hier geht. Es ist zu beachten, dass was in Form des Standard-Gaußschen CDF Verwendung ausgedrückt werden kann die in der Antwort von @ mpkitas beschriebene Methode. Nehmen der Ableitung WRT, wird dann geben Sie die pdf . Sagen Sie Ihrem Anforderer außerdem, dass Sie das PDF nicht explizit integrieren müssen, um zu finden, da dessen Wert Sie bereits ermittelt haben.

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} = P {a X^{2} + b X + c - y \leq 0}

$F_Y(y) = P\{Y \leq y\} = P\{aX^2+bX+c-y \leq 0\}$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

y

$y$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

I

$I$

I = F_{Y} (0)

$I = F_Y(0)$

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate fantastisch! Mit anderen Worten, und in der Antwort von mpkitas werden zu Funktionen von , und dann wende ich einfach die Kettenregel zur Ableitung an. Vielen Dank!

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

y

$y$

— DeltaIV

Man beachte, dass $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ , wobei und Wurzeln des Polynoms . Wir müssen annehmen, dass und real und ungleich sind, andernfalls ist die fragliche Wahrscheinlichkeit trivial null oder eins. $x_1$ $x_2$ $ax^2+bx+c$ $x_1$ $x_2$

Wir haben zwei Fälle.

, dann ist . $a>0$ $P(aX^2+bX+c<0) = P(x_1<X<x_2)$
$a<0$ $P(aX^2+bX+c<0) = P(X<x_1 \cup X>x_2)=1- P(x_1<X<x_2).$

$X$

— mpiktas
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Ausgezeichnet! Und natürlich haben wir analytische Ausdrücke für

und

(Wurzeln einer quadratischen Gleichung), also ist alles sehr einfach. Vielen Dank! PS natürlich sind

und

in meinem Fall immer real und verschieden. Ich habe vergessen, das anzugeben.

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

— DeltaIV

Sehr clevere Lösung. Ich wollte gerade vorschlagen, die Verteilung von

abzuleiten, war aber völlig unnötig. Gut gemacht!

Y

$Y$

— Ramhiser

@ JohnA.Ramey Siehe die Kommentare zur Hauptfrage.

— Dilip Sarwate