Was kann ich über die Kovarianzmatrix sagen, wenn eine inverse Kovarianzmatrix spärlich ist?

Wie wirkt sich die Sparsity-Bedingung auf einer inversen Kovarianzmatrix auf die tatsächliche Kovarianzmatrix aus?

Wie bereits von Yair kommentiert, gibt es keine spezifische Sparsity-Bedingung der inversen Kovarianzmatrix, die die tatsächliche Kovarianzmatrix beeinflusst oder umgekehrt. Alles andere als triviale Sparsity-Matrixmuster (dh Diagonale) haben keine Garantie dafür, dass sie sich sowohl auf eine bestimmte Matrix als auch auf deren Inverse auswirken. Sogar tridiagonale Matrizen können leicht nicht spärliche Inversen aufweisen.

In bestimmten Fällen, in denen die Sparsity der Matrix in Blöcken auftritt, können Sie möglicherweise einige Ergebnisse ableiten, die sich aus dem pseudoinversen Blockmatrix- Algorithmus ergeben, der Folgendes besagt:

$\left[\begin{array}{cc} A & B \\C & D \end{array}\right]^{-1} =\begin{bmatrix} (A - BD^{-1}C)^{-1} & -A^{-1}B(D - CA^{-1}B)^{-1} \\ -D^{-1}C(A - BD^{-1}C)^{-1} & (D - CA^{-1}B)^{-1} \end{bmatrix}$

aber das ist wahrscheinlich auch so (rein anekdotisch habe ich versucht, Sparsity-Muster durch die Cholesky-Zerlegung einer PSD-Matrix aufzuerlegen, aber ich habe meinen Versuch-und-Irrtum-Streifzug nicht bestanden). Möglicherweise möchten Sie auch den Cuthill-McKee-Algorithmus (CM) untersuchen, wenn Sie erwarten, dass sich ein Adjazenzmerkmal in der Kovarianzmatrix widerspiegelt. Der CM-Algorithmus permutiert eine dünn besetzte Matrix mit einem symmetrischen Sparsity-Muster in eine Bandmatrixform mit einer kleinen Bandbreite. Dies könnte dazu beitragen, eine gewisse Sparsity gegenüber den nicht diagonalen Einträgen der inversen Matrix beizubehalten, dies ist jedoch nicht garantiert. (Das Anwenden von CM - wenn dies sinnvoll ist - kann für bestimmte Anwendungen (z. B. in 2D-Glättungsroutinen) sehr hilfreich sein und Ihre Berechnungen erheblich beschleunigen.)