Was ist eine isotrope (sphärische) Kovarianzmatrix?

Könnte mir jemand in einfachen Worten erklären, was eine isotrope Kovarianzmatrix ist? Ich kann online nichts finden.

terminology covariance-matrix definition

— Prüfung
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Eine Kovarianzmatrix wird als isotrop oder sphärisch bezeichnet , wenn sie proportional zur Identitätsmatrix ist: dh sie ist diagonal und alle Elemente auf der Diagonale sind gleich. $\mathbf C$

C = λ I,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Diese Definition hängt nicht vom Koordinatensystem ab. Wenn wir das Koordinatensystem mit einer orthogonalen Rotationsmatrix drehen , verwandelt sich die Kovarianzmatrix in dh es bleibt gleich. $\mathbf V$

V^{⊤} C V = V^{⊤} \cdot λ I \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ I = λ I,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Intuitiv entspricht die isotrope Kovarianzmatrix einer "sphärischen" Datenwolke. Eine Kugel bleibt nach der Drehung eine Kugel.

— Amöbe
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Was ist, wenn die Variablen gedreht werden können, um zur Kovarianzmatrix zu gelangen?

λ I

$\lambda \mathbf I$

— Aksakal

@Aksakal Siehe Update.

— Amöbe

+1. Seltsamerweise gilt eine völlig andere Definition von "isotrop" auch für da es - wie bei Kovarianzmatrizen üblich - eine quadratische Form auf einem realen Vektorraum darstellt. In diesem anderen Sinne ist die einzige isotrope Kovarianzmatrix die Nullmatrix!

C

$C$

— whuber

@whuber Interessant! Ich erinnerte mich nicht daran, dass es einen Begriff von "isotropen" quadratischen Formen gibt. Aber wäre beim Lesen der Definition jetzt keine Kovarianzmatrix mit mindestens einem Null-Eigenwert in diesem Sinne "isotrop"?

— Amöbe

Sie haben Recht - ich habe den Quantifizierer falsch angegeben. Per Definition hat eine isotrope quadratische Form mindestens einen isotropen Vektor ungleich Null (anstatt dass alle Vektoren isotrop sind).

— whuber

Die Kovarianz ist nur eine Funktion von. Sie können eine Definition finden dort . $|x - x'|$

Edit: Entschuldigung, ich habe falsch verstanden, für Matrix ist die richtige Antwort die von Amöben.

— mic
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Die Fragen stellt über Kovarianz Matrix . Natürlich kann eine Matrix als Funktion angesehen werden, aber ich denke, dies erfordert einige Ausarbeitungen für das OP.

— Amöbe