Man beweise, dass

Ich habe diese Gleichheit wobei A und B quadratische symmetrische Matrizen sind.

$$(A^{-1} + B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B$$ $A$$B$

Ich habe viele Tests von R und Matlab durchgeführt, die zeigen, dass dies zutrifft, aber ich weiß nicht, wie ich es beweisen soll.

Angenommen, $A$ , $B$ , $A+B$ und $A^{-1}+B^{-1}$ sind alle invertierbar, beachten Sie Folgendes

$$A^{-1} + B^{-1} = B^{-1} + A^{-1} = B^{-1}(A+B)A^{-1}$$

und dann beide Seiten umkehren , QED .

Symmetrie ist dafür nicht erforderlich.

Beachten Sie, dass

$$\mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B}$$

ist die Umkehrung von

$$\left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right)$$

dann und nur dann, wenn

$$\mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B} \left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right) = \mathbf{I}$$

und

$$\left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right) \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B} = \mathbf{I}$$

so dass die linken und rechten Umkehrungen zusammenfallen. Lassen Sie uns die erste Aussage beweisen. Wir können das sehen

$$\begin{align} \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B} \left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right) & = \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \left(\mathbf{B} \mathbf{A}^{-1} + \mathbf{I} \right) \\ &= \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \left( \mathbf{A} + \mathbf{B} \right) \mathbf{A}^{-1} \\ & = \mathbf{I} \end{align}$$

wie gewünscht. Ein ähnlicher Trick wird auch die zweite Aussage beweisen. Somit ist in der Tat die Umkehrung von .$\mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B}$$\left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right)$