Ist die Student-t-Verteilung eine stabile Lévy-Verteilung?

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Lassen Sie eine Student-t-Verteilung haben, so dass $X$

\begin{aligned} f_{X} (x | ν, μ, β) = \frac{Γ (\frac{ν + 1}{2})}{Γ (\frac{ν}{2}) \sqrt{π ν} β} {(1 + \frac{1}{ν} {(\frac{x - μ}{β})}^{2})}^{- \frac{1 + ν}{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} f_X(x|\nu ,\mu ,\beta) = \frac{\Gamma (\frac{\nu+1}{2})}{\Gamma (\frac{\nu}{2}) \sqrt{\pi \nu} \beta} \left(1+\frac{1}{\nu}\left(\frac{x - \mu}{\beta}\right)^2 \right)^{\text{$-\frac{1+\nu}{2}$}} \end{align*}$

Ich weiß, dass Student-t-Verteilungen ein Potenzgesetz im Schwanz zeigen. Ich weiß auch, dass Lévy stabile Verteilungen (zB mit folgender charakteristischer Funktion:

\begin{aligned} ϕ (t | α, β, c, μ) = e x p [i t μ - | c t |^{α} (1 - i β s g n (t) Φ)] \end{aligned}

$\begin{align*} \phi(t|\alpha ,\beta, c ,\mu) = exp[i t \mu - |ct|^\alpha (1-i\beta sgn(t) \Phi)] \end{align*}$

Dabei ist das Vorzeichen von und Ausnahme von wenn ) haben ein Potenzgesetz in den Schwänzen, so dass das asymptotische Verhalten für großes eines rv Lévy stabil verteilt ist: $sgn(t)$ $t$ $\Phi= tan(\frac{\pi \alpha}{2}) \quad \forall \alpha$ $\alpha =1$ $\Phi = -\frac{2}{\pi} log|t|$ $x$ $X$

f_{X} (x) \propto \frac{1}{| x |^{1 + α}}

$f_X(x) \propto \frac{1}{|x|^{1+\alpha}}$

Meine Frage ist: Ist die Student-t-Verteilung stabil? Oder impliziert ein Potenzgesetz in den Schwänzen mit anderen Worten eine stabile Verteilung von Lèvy?

— Puzzle
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Ein empirischer Befund, den ich in der Vergangenheit gefunden habe, ist, dass für den Cut-off von etwa 90% die t-Verteilung und der Alpha-Stall ähnliche Ergebnisse vom Hill-Schätzer haben, wenn Alpha = 2 - 1 / DF ist. Obwohl sie unterschiedlich sind, gibt es also viele von Ähnlichkeiten: - bei einem Extrem Alpha = 1 und DF = 1 sind beide Cauchy - bei einem anderen Alpha = 2 und DF = unendlich sind beide normal - zwischen den oben beschriebenen Beziehungen könnte verwendet werden, um eine grobe Äquivalenz zwischen diesen Extremen zu ergeben - Form von Schwanz über 90% ist anders, da Cauchy in sehr weitem Schwanz extremer ist

— James65

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Eines der charakteristischen Merkmale einer Levy-stabilen Verteilung ist, dass lineare Kombinationen unabhängiger Kopien bis auf Position und Skalierung dieselbe Verteilung aufweisen. Wenn diese Eigenschaft nicht gilt, kann die Verteilung nicht abgabenstabil sein. Entsprechend ist die charakteristische Funktion nicht von der Levy-Form.

Im Fall der Schülerverteilung hat sie eine charakteristische Funktion, die wie folgt aussieht:

\frac{K_{v / 2} (\sqrt{v} | t |) (\sqrt{v} | t |)^{v / 2}}{Γ (v / 2) 2^{v / 2 - 1}},

$\frac{K_{v/2}(\sqrt{v}|t|)(\sqrt{v}|t|)^{v/2}}{\Gamma(v/2)2^{v/2-1}},$

die im Allgemeinen nicht die Abgabeform haben wird.

— Alex R.
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Da es für die meisten Menschen wahrscheinlich nicht sofort offensichtlich ist, dass diese Form des Student t CF nicht in der stabilen Form der Abgabe geschrieben werden kann, wäre es schön, eine Demonstration dieser Unmöglichkeit zu sehen.

— whuber

Eine stabile Verteilung impliziert also notwendigerweise ein Potenzgesetz in den Schwänzen (abgesehen vom Normalen), aber ein Potenzgesetz in den Schwänzen impliziert nicht notwendigerweise eine stabile Verteilung?

— Puzzle

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Von der anderen Seite ist die Studentenverteilung eine unendlich teilbare Verteilung und als solche eine Verteilung eines Abgabenprozesses. Wie es sein kann?

— zer0hedge

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case $\nu>2$

Um Alex 'Antwort zu erweitern, können wir eine andere Art von Argument für : $\nu>2$

Lévy-stabile Verteilungen haben eine unendliche Varianz für den Stabilitätsparameter . $\alpha < 2$
Die t-Verteilung hat jedoch eine endliche Varianz für den Freiheitsgradparameter . $\nu > 2$
Und die Gaußsche Verteilung ist bereits die (einzigartige) Lévy-stabile Verteilung mit . $\alpha=2$

Daher muss es so sein, dass die verallgemeinerte t-Verteilung keine stabile Lévy-Verteilung sein kann.

Eine andere Sichtweise ist, dass (aufgrund der endlichen Varianz und der CLT) die Verteilung einer Summe von t-verteilten Variablen zur Normalverteilung konvergieren muss. Somit kann die t-Verteilung keine stabile Lévy-Verteilung sein.

Fall $1 \leq \nu \leq 2$

In diesen Fällen können wir das obige Argument nicht verwenden. Eine Möglichkeit besteht darin, die charakteristische Funktion zu untersuchen (wie in Alex 'Antwort erwähnt). Bei der Standortskalenvariante ist dies:

φ (t) = e^{i t μ} \frac{K_{\frac{ν}{2}} (\sqrt{ν} | σ t |) {(\sqrt{ν} | σ t |)}^{\frac{ν}{2}}}{Γ (\frac{ν}{2}) 2^{\frac{ν}{2} - 1}}

$\varphi(t) = e^{it\mu} \frac{K_{\frac{\nu}{2}}\left( \sqrt{\nu} \vert \sigma t \vert \right) \left(\sqrt{\nu} \vert \sigma t \vert \right)^{\frac{\nu}{2}} }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2}\right) 2^{\frac{\nu}{2}-1} }$

mit die modifizierte Bessel-Funktion der zweiten Art. $K_{\lambda}(w)$

K_{λ} (w) = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} x^{λ - 1} e^{- \frac{1}{2} w (x + 1 / x)} d x

$K_{\lambda}(w) = \frac{1}{2} \int_0^\infty x^{\lambda-1} e^{-\frac{1}{2}w\left(x + 1/x \right)} dx$

^{Siehe Dae-Kun Song, Hyoung-Jin Park, Hyoung-Moon Kim. Ein Hinweis zur charakteristischen Funktion der multivariaten Verteilung}

Im Fall von $\mathbf{\nu = 1}$ die t-Verteilung dieselbe wie die Cauchy-Verteilung, von der bekannt ist, dass sie Lévy-stabil ist.

In diesem speziellen Fall lautet der Term mit der modifizierten Bessel-Funktion und Sie erhalten
$K_{\frac{1}{2}} (| σ t |) = \sqrt{\frac{2}{π | σ t |}} e^{- | σ t |}$ $K_{\frac{1}{2}}(\vert \sigma t \vert) = \sqrt{\frac{2}{\pi \vert \sigma t \vert }}e^{-\vert \sigma t\vert }$ $φ (t) = e^{i t μ + | σ t |}$ $\varphi(t) = e^{it\mu + \vert \sigma t \vert }$
Im Fall von $\mathbf{1 < \nu \leq 2}$ die t-Verteilung und die Funktion schwieriger zu bewerten. Aber wir können ein Argument in umgekehrter Richtung vorbringen und annehmen, dass irgendeine Form haben muss, und dann sehen, ob es sich um eine Lösung der Besselschen Gleichung handelt. $K_\nu$ $K_\nu$

Angenommen, eine t-Verteilung mit ist Lévy-stabil, dann müsste die charakteristische Funktion die Form mit und (in diesen Fällen ist der Mittelwert endlich und die Varianz unendlich). ^{Tatsächlich ist die}^{Holtsmark-Distribution}^{die einzige derzeit bekannte explizite Distribution, die diese Form unter diesen Bedingungen hat.} $1 < \nu \leq 2$
$φ (t) = e^{i t μ - c t^{α}}$ $\varphi(t)=e^{it\mu -ct^\alpha}$ $c>0$ $1 < \alpha < 2$
Wenn eine t-Verteilung für ein bestimmtes eine solche Form hat, muss die modifizierte Bessel-Funktion der dritten Art die Form haben: wir dies überprüfen, indem wir es in die modifizierte Bessel-Gleichung was zu Dies hat nur die Lösung die das Cauchy ist Verteilungsfall. Somit gibt es keine andere t-Verteilung, die Lévy-stabil ist. $\nu$
$K_{λ = \frac{ν}{2}} (w) \propto w^{- ν / 2} e^{- w^{α}}$ $K_{\lambda = \frac{\nu}{2}}(w) \propto w^{-\nu/2}e^{-w^\alpha }$ $x^{2} y^{″} + x y^{'} - (x^{2} + λ^{2}) y = 0$ $x^2y'' + xy' - (x^2+\lambda^2)y = 0$ $α x^{2 α} - α (α - ν) x^{α} - x^{2} = 0$ $\alpha x^{2\alpha}-\alpha(\alpha - \nu) x^\alpha - x^2 = 0$ $\nu = \alpha = 1$

— Sextus Empiricus
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Ist die Student-t-Verteilung eine stabile Lévy-Verteilung?

caseν>2ν>2\nu>2

Fall1≤ν≤21≤ν≤21 \leq \nu \leq 2

case $\nu>2$

Fall $1 \leq \nu \leq 2$