Ist Gelenknormalität eine notwendige Bedingung für die Normalität der Summe normaler Zufallsvariablen?

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In Kommentaren , die meiner Antwort auf eine verwandte Frage folgen, fragten Benutzer ssdecontrol und Glen_b, ob eine gemeinsame Normalität von und notwendig ist, um die Normalität der Summe zu behaupten . Dass Gelenknormalität ausreicht, ist natürlich bekannt. Diese Zusatzfrage wurde dort nicht angesprochen und ist vielleicht für sich allein schon eine Überlegung wert. $X$ $Y$ $X+Y$

Da Gelenknormalität eine marginale Normalität impliziert, frage ich

Haben existieren normale Zufallsvariablen und , so dass eine normale Zufallsvariable ist, aber und sind nicht gemeinsam normale Zufallsvariablen? $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

Wenn und keine Normalverteilungen haben müssen, ist es einfach, solche normalen Zufallsvariablen zu finden. Ein Beispiel kann in meiner vorherigen Antwort gefunden werden (Link ist oben angegeben). Ich glaube, dass die Antwort auf die oben hervorgehobene Frage Ja lautet, und habe (was ich denke) ein Beispiel als Antwort auf diese Frage gepostet. $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
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Wie wollen Sie mit entarteten Verteilungen umgehen? Wenn zum Beispiel

X

$X$ eine Standardnormale ist und

Y = - 2 X

$Y=-2X$ , dann ist die gemeinsame Verteilung von

X

$X$ und

Y

$Y$ eine entartete Normalverteilung und

X + Y

$X+Y$ ist eine Standardnormale.

— Brian Borchers

@BrianBorchers

X

$X$ und

Y = - 2 X

$Y = -2X$ sind gemeinsam normale Zufallsvariablen, obwohl die Verteilung, wie Sie sagen, entartet ist. Die Standarddefinition der Gelenknormalität ist, dass

X

$X$ und

Y

$Y$ gemeinsam normal sind, wenn

a X + b Y

$aX+bY$ für alle Auswahlen von

normal ist

(a, b)

$(a,b)$ . Hier ist

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$ ist ein entarteter Fall, der aus Höflichkeit als normale Zufallsvariable bezeichnet wird.

— Dilip Sarwate

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Sei $U,V$ iid $N(0,1)$ .

Nun transformiere $(U,V) \to (X,Y)$ wie folgt:

Im ersten Quadranten (dh ) sei und . $U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

Drehen Sie diese Zuordnung für die anderen Quadranten um den Ursprung.

Die resultierende bivariate Verteilung sieht wie folgt aus (von oben gesehen):

$\hspace{1.5 cm}$

- Das Purpur repräsentiert Regionen mit doppelter Wahrscheinlichkeit und die weißen Regionen sind Regionen ohne Wahrscheinlichkeit. Die schwarzen Kreise sind Konturen konstanter Dichte (überall auf dem Kreis für , aber innerhalb jedes Farbbereichs für ). $(U,V)$ $(X,Y)$

Aufgrund der Symmetrie sind sowohl als auch normal (wenn man eine vertikale Linie entlang schaut oder entlang einer horizontalen Linie, gibt es einen violetten Punkt für jedes Weiß, das wir als über die Achse gespiegelt betrachten können, die die horizontale oder vertikale Linie kreuzt). $X$ $Y$
aber sind eindeutig nicht bivariat normal, und $(X,Y)$
was (schauen Sie äquivalent entlang der Linien der Konstanten und sehen Sie, dass wir eine ähnliche Symmetrie haben wie in 1., aber diesmal über Linie) $X+Y = U+V$ $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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+1 und ein Accept; Diese Konstruktion ist viel schöner als die in meiner eigenen Antwort!

— Dilip Sarwate

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Betrachten Sie gemeinsam stetige Zufallsvariablen mit Gelenkdichtefunktion $U, V, W$ wobeidie normale Standarddichtefunktion bezeichnet.

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Es ist klar , daß und sind abhängig Zufallsvariablen. Es ist auch klar, dass es sich nicht um gemeinsam normale Zufallsvariablen handelt. Alle drei Paare sind jedoch paarweise unabhängige Zufallsvariablen: in der Tat unabhängige normale Standardzufallsvariablen (und somit paarweise gemeinsam normale Zufallsvariablen). Kurz gesagt, $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ sind ein Beispiel für paarweise unabhängige, aber nicht voneinander unabhängige normale Zufallsvariablen. Siehe meine Antwort für weitere Details.

Beachten Sie, dass die paarweise Unabhängigkeit uns ergibt, dass und alle normale Zufallsvariablen mit dem Mittelwert Null und der Varianz . Definieren wir nun und beachten Sie, dass auch eine normale Zufallsvariable mit dem Mittelwert Null und der Varianz . Auch $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

, und so sind

und

abhängige und korrelierte Zufallsvariablen.

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

und sind (korrelierte) normale Zufallsvariablen, dienicht gemeinsam normal sind,aber die Eigenschaft haben, dass ihre Summe eine normale Zufallsvariable ist. $X$ $Y$ $X+Y$

Anders ausgedrückt, die Normalität der Gelenke ist eine ausreichende Bedingung, um die Normalität einer Summe normaler Zufallsvariablen zu bestimmen, aber keine notwendige Bedingung.

Beweis, dass und nicht gemeinsam normal sind $X$ $Y$
Da die Transformation linear ist, ist es einfach, $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ . Deshalb haben wirdass $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$ Aber hat die Eigenschaft, dass sein Wert nur dann ungleich Null ist, wenn genau eines oder alle drei seiner Argumente nicht negativ sind. Nehmen wir nun an, dass . Dann hat den Wert

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

für

und istsonst

. Also, für

,

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

Nun ist

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

und so, indemwir

ausdehnenund einige Umordnungen der Integranden in

vornehmen, wir kann schreiben

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

Kommentar: Gemeinsame Normalität von $X$ und $Y$ genügt für die Normalität von $X+Y$ es beinhaltet aber noch viel mehr: $aX+bY$ ist normal für alle Entscheidungen von $(a,b)$ . Hier brauchen wir $aX+bY$ für nur drei Wahlen von normal zu sein $(a,b)$ , Nämlich., $(1,0), (0,1), (1,1)$ wo die ersten beiden die oft ignorierte Bedingung durchsetzen (siehe zB die Antwort von $Y.H.$ ), dass die (Grenz-) Dichten von $X$ und $Y$ muss normale Dichte sein, und die dritte besagt, dass die Summe auch eine normale Dichte haben muss. So wir können normale Zufallsvariablen haben, die nicht gemeinsam normal , aber deren Summe ist normal , weil wir kümmern uns nicht , was für andere Entscheidungen geschieht von $(a,b)$ .

— Dilip Sarwate
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