Vermutung im Zusammenhang mit Kolmogorov 0-1 Gesetz (für Veranstaltungen)

Sei $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Vermutung:

Angenommen, wir haben Ereignisse $A_1, A_2, ...$ st $\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...)$ , $P(A) = 0$ oder $1$ . Es gibt eine unabhängige Folge von Ereignissen $B_1, B_2, ...$ st

$τ_{A_{n}} := ⋂_{n} σ (A_{n}, A_{n + 1}, . . .) = ⋂_{n} σ (B_{n}, B_{n + 1}, . . .) := τ_{B_{n}}$ $\tau_{A_n} := \bigcap_n \sigma(A_n, A_{n+1}, ...) = \bigcap_n \sigma(B_n, B_{n+1}, ...) := \tau_{B_n}$

Ist das wahr?

Ich denke, es gibt eine Funktion $f: \mathbb N \to \mathbb N$ st $A_{f(n)}$ sind unabhängig, so dass wir wählen können $B_n = A_{f(n)}$ . Ist das wahr? Warum Warum nicht? Wenn nicht, wie kann ich die obige Vermutung sonst beweisen oder widerlegen? Wenn es wahr ist, kann es meiner Meinung nach bewiesen werden, indem der Beweis des Kolmogorov 0-1-Gesetzes (für Ereignisse) geändert wird.

Vielleicht ist eine dieser Teilfolgen von Mengen unabhängig:

A_{n}

$A_n$

A_{2 n}, A_{2 n + 1}

$A_{2n}, A_{2n+1}$

A_{3 n}, A_{3 n + 1}, A_{3 n + 2}

$A_{3n}, A_{3n+1}, A_{3n+2}$

⋮

$\vdots$

A_{m n}, A_{m n + 1}, A_{m n + 2}, . . ., A_{m n + (m - 1)}

$A_{mn}, A_{mn+1}, A_{mn+2}, ..., A_{mn+(m-1)}$

⋮

$\vdots$

Ich denke wir haben das

τ_{A_{n}} = τ_{A_{m n + i}} := ⋂_{n} σ (A_{m n + i}, A_{m (n + 1) + i}, . . .)

$\tau_{A_n} = \tau_{A_{mn+i}} := \bigcap_n \sigma(A_{mn+i}, A_{m(n+1)+i}, ...)$

wobei und . $m \in \mathbb N$ $i \in \{0, 1, 2, ..., m-1\}$

Es scheint, dass wir ein solches brauchen , wenn es existiert, um die folgende Bedingung zu erfüllen: $f(n)$

\begin{matrix} (**) & σ (A_{f (n)}, A_{f (n + 1)} . . .) \subseteq σ (A_{n}, A_{n + 1}, . . .) \end{matrix}

$\sigma(A_{f(n)}, A_{f(n+1)}...) \subseteq \sigma(A_n, A_{n+1}, ...) \tag{**}$

was ich denke ist wahr, wenn (und nur wenn?) $f(n) \ge n$ .

Andere mögliche Kandidaten für : $f(n)$ (Angenommen, die Variablen sind st ist erfüllt. Falls erforderlich, oder .) $f: \mathbb N \to \mathbb N$ $(**)$ $f(n) \ge n$

$\sum_{i=0}^{m} a_i n^i$
$2^n, 3^n, ...$
$\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n$
(ich denke ) $\lfloor{t^n}\rfloor, \lceil{t^n}\rceil$ $t > e^{1/e}$
$\lfloor{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rfloor, \lceil{\sum_{i=1}^{m} b_i c_i^n}\rceil$
$\lfloor{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rfloor, \lceil{\text{linear combination of trigonometric functions}}\rceil$
$\lfloor{\text{Some linear combination of the above}}\rfloor, \lceil{\text{Some linear combination of the above}}\rceil$

Unter der Annahme, dass die Vermutung wahr ist , ist es vermutlich nicht notwendig, zu finden , das für alle möglichen Folgen von Ereignissen weil ein solches möglicherweise nicht einmal existiert. $f(n)$ $A_1, A_2, ...$ $f(n)$

Um die Vermutung zu widerlegen : Ich denke, wir müssen zeigen, dass eine solche Sequenz , die unabhängig ist, impliziert, dass Schwanz niemals gleich Schwanz ist, da Schwanz nach dem Kolmogorov 0-1 Gesetz (für Ereignisse) trivial sein wird. $B_n$ $B_n$ $A_n$ $B_n$ $\mathbb P-$

Etwas , das helfen könnte: können wir zeigen , dass oder und $\forall \ A \in \bigcap_n \sigma(A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...), P(A) = 0$ $1$ ist nicht unabhängig, aber ich bin nicht ganz sicher, ob die Vermutung widerlegt ist, weil wir einige konstruieren könnten, die aussehen wie: $\forall n \in \mathbb N, A_{f(n)}, A_{f(n+1)}, ...$ $B_n$

$B_{n} = A_{n + 1} ∖ A_{n}$ $B_n = A_{n+1} \setminus A_n$
$B_{n} = A_{n} ∖ A_{n - 1}, A_{0} = \emptyset$ $B_n = A_{n} \setminus A_{n-1}, A_0 = \emptyset$
$B_{n} = ⋂_{m} A_{m n}$ $B_n = \bigcap_m A_{mn}$
$B_{n} = ⋃_{m} A_{m n}$ $B_n = \bigcup_m A_{mn}$
$B_{2 n} = ⋂_{m} A_{m n}, B_{2 n + 1} = ⋃_{m} A_{m n}$ $B_{2n} = \bigcap_m A_{mn}, B_{2n+1} = \bigcup_m A_{mn}$
$B_{n} = \underset{m}{lim sup} A_{m n}$ $B_n = \limsup_m A_{mn}$
$B_{n} = \underset{m}{lim inf} A_{m n}$ $B_n = \liminf_m A_{mn}$
$B_{2 n} = \underset{m}{lim sup} A_{m n}, B_{2 n + 1} = \underset{m}{lim inf} A_{m n}$ $B_{2n} = \limsup_m A_{mn}, B_{2n+1} = \liminf_m A_{mn}$

Natürlich nicht zu sagen, dass eines dieser erfüllt, aber dass nicht in der Form vorliegen muss . $B_n$ $\tau_{A_n} = \tau_{B_n}$ $B_n$ $A_{f(n)}$

Borel-Cantelli:

Wenn . Daher ist unabhängig. $\sum_n P(A_n) < \infty \to 0 = P(\limsup A_n) = P(\limsup A_{mn}) \ \forall m \in \mathbb N$ $B_m = \limsup A_{mn}$
Wenn , dann vielleicht diese Erweiterung von Borel-Cantelli ? Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich es verstehe oder wie es hilfreich wäre. Ich glaube nicht, dass wir etwas schließen können, wenn wir . $\sum_n P(A_n) = \infty$ $P(\limsup A_n)$
Dann gibt es den Fall von aber die früheren Bedingungen sind nicht erfüllt. $\sum_n P(A_n) = \infty$

— BCLC
quelle

Vielleicht ein Beweis durch Konstruktion, bei dem

B_{1} = A_{1}, B_{2} = A_{2} - A_{1}, \dots

$B_1 = A_1, B_2 = A_2 - A_1, \dots$

— Jbowman

Für mich ist es unwahrscheinlich, dass diese Vermutung zutrifft, es sei denn, Sie fügen zusätzliche Bedingungen hinzu oder Sie meinen, dass die beiden Vervollständigungen der

Algebra übereinstimmen (was fast trivial gilt). Ich kann jedoch kein Gegenbeispiel sehen.

σ

$\sigma$

— P. Windridge

Auf jeden Fall denke ich, dass Sie mit der (einfacheren) Frage beginnen können: "Sei

ein Wahrscheinlichkeitsraum. Angenommen,

ist eine zählbar erzeugte

Algebra und

oder

für jeden Fall

. gibt es eine Folge unabhängiger Ereignisse

mit Schwanz

-Algebra

(Ω, F, P)

$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$

G \subset F

$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$

σ

$\sigma$

P (A) = 0

$\mathbb{P}(A)= 0$

1

$1$

A \in G

$A \in \mathcal{G}$

B_{1}, B_{2}, \dots

$B_1,B_2,\ldots$

F

$\mathcal{F}$

σ

$\sigma$

G

$\mathcal{G}$

— P.Windridge

Eine

Algebra

wird zählbar erzeugt, wenn

. Es ist einfach, Beispiele zu finden, bei denen die Schwanz-

Algebra nicht zählbar erzeugt wird.

σ

$\sigma$

G

$\mathcal{G}$

F_{1}, F_{2}, \dots

$F_1,F_2,\ldots$

G = σ (F_{1}, F_{2}, \dots)

$\mathcal{G} = \sigma(F_1,F_2,\ldots)$

σ

$\sigma$

— P. Windridge

Allgemeiner kann eine Sub-

Algebra einer zählbar erzeugten

Algebra selbst nicht zählbar erzeugt werden! Schauen Sie sich Übung 1.1.18 in math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf

σ

$\sigma$

σ

$\sigma$

— P.Windridge

Wenn Sie Ereignisse , die auf interessante Weise unabhängig sind (nicht einfach, weil oder ), dann ist die Vermutung falsch. $B_n$ $\mathbb{P}(B_n) = 0$ $\mathbb{P}(B_n) = 1$

Hier ist ein pedantisches Beispiel. Angenommen, ist ein geeignet reicher Wahrscheinlichkeitsraum. $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$

Lassen sein - Null, dh . Nehmen Sie , so dass die Schwanz- Algebra . $A \in \mathcal{F}$ $\mathbb{P}$ $\mathbb{P}(A) =0$ $A_i = A$ $\sigma$ $\mathcal{G} = \{\emptyset, A, A^c, \Omega\}$

Beachten Sie, dass insbesondere endlich ist. $\mathcal{G}$

Nehmen wir nun an, dass eine unabhängige Folge von Ereignissen ist, bei denen von und . Dann wird die Schwanz- Algebra nicht zählbar erzeugt. (Siehe z. B. Übung 1.1.18 http://math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf , in der ein Argument wie oben beschrieben verwendet wird. Jede zählbar erzeugte triviale Algebra hat ein Atom der Masse , aber hat kein solches Atom). $B_1, B_2, \ldots$ $\mathbb{P}(B_n)$ $0$ $1$ $\sigma$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{P}$ $\sigma$ $1$ $\mathcal{H}$

Also, ist endlich , aber ist nicht einmal abzählbar erzeugt. $\mathcal{G}$ $\mathcal{H}$

$\mathbb{P}(B_n) = 0$ $\mathbb{P}$ $\sigma$ $\mathcal{G}$ $E_1, E_2, \ldots \in \mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ $\mathcal{G}$ $\mathbb{P}$ $E_n$ $E_n^c$ $B$ $B_{1,1} = E_1$ $B_{2,1} = E_1, B_{2,2} = E_2,\ldots,B_{k,j} = E_j$ $1\le j \le k$

$(B_{k,j})$ $\sigma$ $\mathcal{G}$

$\mathcal{G}$ $\mathbb{P}$ $\sigma$ $\mathcal{G}$ $\sigma$

$\mathbb{P}(B_n)\to 0$

— P. Windridge
quelle

P (B_{n}) = 0

$P(B_n)=0$

1

$1$

G

$\mathcal G$

τ_{A_{n}}

$\tau_{A_n}$

H = τ_{B_{n}}

$\mathcal H = \tau_{B_n}$

P (B_{n}) = 0

$P(B_n)=0$

A_{1}, A_{2}, \dots

$A_1,A_2,\ldots$

σ

$\sigma$

G = τ_{(A_{n})}

$\mathcal{G}=\tau_{(A_n)}$

H

$\mathcal{H}$

τ_{(B_{n})}

$\tau_{(B_n)}$

A_{n}

$A_n$

B_{n}

$B_n$

B_{n}

$B_n$

A_{i}

$A_i$

A_{i}

$A_i$

B_{i}

$B_i$