Ist Slutskys Theorem immer noch gültig, wenn zwei Folgen zu einer nicht entarteten Zufallsvariablen konvergieren?

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Ich bin verwirrt über einige Details zu Slutskys Theorem :

Sei , zwei Folgen von skalaren / Vektor / Matrix-Zufallselementen. $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$

Konvergiert in der Verteilung zu einem zufälligen Element und in der Wahrscheinlichkeit zu einer Konstanten , dann vorausgesetzt, ist invertierbar, wobei die Konvergenz in der Verteilung an. $X_n$ $X$ $Y_n$ $c$
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{d}{\to} X + c \\ X_{n} Y_{n} & \overset{d}{\to} c X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{d}{\to} X / c, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ $c$ ${\xrightarrow {d}}$

Wenn beide Sequenzen in Slutskys Theorem zu einer nicht entarteten Zufallsvariablen konvergieren, ist der Theorem immer noch gültig, und wenn nicht (könnte jemand ein Beispiel angeben?), Welche zusätzlichen Bedingungen sind erforderlich, um ihn gültig zu machen?

— Nicolas H
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Der Satz von Slutsky erstreckt sich nicht auf zwei Folgen, die in Verteilungen zu einer Zufallsvariablen zusammenlaufen. Wenn in Verteilung konvergiert , gut kann Converge versagen oder auf etwas anderes als konvergieren . $Y_n$ $Y$ $X_n+Y_n$ $X+Y$

Zum Beispiel, wenn für alle ‚s, konvergiert nicht auf die Differenz von zwei RVs mit derselben Verteilung wie . $Y_n=-X_n$ $n$ $X_n+Y_n$ $X$

Ein weiteres Gegenbeispiel ist, dass, wenn die Sequenzen und unabhängig sind und beide in der Verteilung auf eine normale konvergieren, wenn man und , dann Weitere Informationen zu diesem Beispiel finden Sie in der Antwort von Davide . $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$

\begin{aligned} X_{n} & \overset{d}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{d}{\to} X_{2} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{d}{\to} X_{1} + X_{2} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— Xi'an
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Um es zu erweitern, braucht man etwas mehr, wie Unabhängigkeit.

— kjetil b halvorsen

Habe ich Recht, wenn beide Sequenzen stattdessen zu einer Konstanten konvergieren, gilt Slutsky immer noch, weil eine Konstante ein spezieller (entarteter) Fall eines Wohnmobils ist?

— Half-Pass

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@ half-pass: das ist richtig.

— Xi'an

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Es sei angenommen, dass ein Gauß-zentrierter Vektor ist, dessen Kovarianzmatrix mit . Definieren Sie und für . Dann und , wobei und normale Zufallsvariablen sind. Jedoch ist Gaussian, zentriert und ihre Varianz ist . Da nichts über die Verteilung von , können wir in der Verteilung . $(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

Dieses Beispiel zeigt, dass wir im Allgemeinen und in der Verteilung haben, aber wenn wir keine Informationen über die Verteilung von , kann die Konvergenz fehlschlagen. $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

Natürlich ist alles in Ordnung, wenn verteilt sind (zum Beispiel, wenn unabhängig von und von . Im Allgemeinen können wir nur behaupten, dass die Folge ist eng ( für jedes positive können wir so finden, dass ) dass wir eine zunehmende Folge von ganzen Zahlen so dass in der Verteilung zu einer Zufallsvariablen konvergiert . $(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $Z$

Vorschlag. Es gibt Folgen von Gaußschen Zufallsvariablen und so dass wir für jedes eine zunehmende Folge von ganzen Zahlen finden können so dass in der Verteilung zu konvergiert . $(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $N(0,\sigma^2)$

Beweis. Stellen Sie sich eine Aufzählung rationaler Zahlen von und eine Bijektion . Definieren Sie für als einen Gauß-zentrierten Vektor der Kovarianzmatrix . Mit dieser Wahl kann man sehen, dass die Schlussfolgerung des Satzes erfüllt ist, wenn rational ist. Verwenden Sie ein Näherungsargument für den allgemeinen Fall. $(r_j)$ $[-1,1]$ $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ $(X_n,Y_n)$ $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ $\sigma$

— Davide Giraudo
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