Verteilung des Verhältnisses zwischen zwei unabhängigen einheitlichen Zufallsvariablen

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Angenommen, und sind in einheitlich verteilt , und sie sind unabhängig. Was ist das PDF von ? $X$ $Y$ $[0, 1]$ $Z = Y / X$

Die Antwort aus einem wahrscheinlichkeitstheoretischen Lehrbuch lautet

f_{Z} (z) = {\begin{cases} 1 / 2, & if 0 \leq z \leq 1 \\ 1 / (2 z^{2}), & if z > 1 \\ 0, & otherwise . \end{cases}

$f_Z(z) = \begin{cases} 1/2, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ 1/(2z^2), & \text{if } z > 1 \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$

Ich frage mich aus Symmetrie, sollte nicht ? Dies ist laut obigem PDF nicht der Fall. $f_Z(1/2) = f_Z(2)$

probability derived-distributions

— qed
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Was ist die Domäne von und ?

X

$X$

Y

$Y$

— Sobi

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

— kjetil b halvorsen

2

Warum sollten Sie damit rechnen? Die Dichtefunktion gibt an, wie dicht die Wahrscheinlichkeit in der Nähe eines Punktes ist, und es ist deutlich schwieriger für in der Nähe von als (bedenken Sie beispielsweise, dass unabhängig von immer kann ist, aber wenn ).

Z

$Z$

2

$2$

1 / 2

$1/2$

Z

$Z$

1 / 2

$1/2$

X

$X$

Z < 2

$Z < 2$

X > 1 / 2

$X > 1/2$

— Dsaxton

2

Mögliches Duplikat der Verteilung eines Verhältnisses von Uniformen: Was ist falsch?

— Xi'an,

3

Ich denke nicht, dass es ein Duplikat ist, diese Frage sucht das PDF, hier habe ich das PDF, ich frage nur seine Richtigkeit (vielleicht eher naiv).

— Qed

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Die richtige Logik ist, dass mit unabhängigen , und die gleiche Verteilung haben und so für wo die Gleichung mit CDFs verwenden die Tatsache, dass eine kontinuierliche Zufallsvariable ist und daher . Daher erfüllt das pdf von Somit ist $X, Y \sim U(0,1)$ $Z=\frac YX$ $Z^{-1} =\frac XY$ $0 < z < 1$

\begin{aligned} P {\frac{Y}{X} \leq z} & = P {\frac{X}{Y} \leq z} \\ = P {\frac{Y}{X} \geq \frac{1}{z}} \\ F_{Z} (z) & = 1 - F_{Z} (\frac{1}{z}) \end{aligned}

$\begin{align} P\left\{\frac YX \leq z\right\} &= P\left\{\frac XY \leq z\right\}\\ &= P\left\{\frac YX \geq \frac 1z \right\}\\ \left.\left.F_{Z}\right(z\right) &= 1 - F_{Z}\left(\frac 1z\right) \end{align}$

\frac{Y}{X}

$\frac YX$

P {Z \geq a} = P {Z > a} = 1 - F_{Z} (a)

$P\{Z \geq a\} = P\{Z > a\} = 1-F_Z(a)$

Z

$Z$

f_{Z} (z) = z^{- 2} f_{Z} (z^{- 1}), 0 < z < 1.

$f_Z(z) = z^{-2}f_Z(z^{-1}), \quad 0 < z < 1.$

f_{Z} (\frac{1}{2}) = 4 f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = 4f_Z(2)$ , und nicht wie Sie es sich vorgestellt haben.

f_{Z} (\frac{1}{2}) = f_{Z} (2)

$f_Z(\frac 12) = f_Z(2)$

— Dilip Sarwate
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Diese Verteilung ist symmetrisch - wenn man es richtig betrachtet.

Die Symmetrie, die Sie (korrekt) beobachtet haben, ist, dass und identisch verteilt sein müssen. Wenn Sie mit Verhältnissen und Potenzen arbeiten, arbeiten Sie wirklich in der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen. Das Analogon des ortsinvarianten Maßes für die additiven reellen Zahlen ist das skalinvariante Maß für die multiplikative Gruppe des positiven reellen zahlen. Es hat diese wünschenswerten Eigenschaften: $Y/X$ $X/Y = 1/(Y/X)$ $d\lambda=dx$ $\mathbb{R}$ $d\mu = dx/x$ $\mathbb{R}^{*}$

$d\mu$ ist unter der Transformation für jede positive Konstante invariant : $x\to ax$ $a$
$d μ (a x) = \frac{d (a x)}{a x} = \frac{d x}{x} = d μ .$ $d\mu(ax) = \frac{d(ax)}{ax} = \frac{dx}{x} = d\mu.$
$d\mu$ ist kovariant unter der Transformation für Zahlen ungleich Null : $x\to x^b$ $b$
$d μ (x^{b}) = \frac{d (x^{b})}{x^{b}} = \frac{b x^{b - 1} d x}{x^{b}} = b \frac{d x}{x} = b d μ .$ $d\mu(x^b) = \frac{d(x^b)}{x^b} = \frac{b x^{b-1} dx}{x^b} = b\frac{dx}{x} = b\, d\mu.$
$d\mu$ wird über das Exponential in : Ebenso wird über den Logarithmus zurück in transformiert . $d\lambda$
$d μ (e^{x}) = \frac{d e^{x}}{e^{x}} = \frac{e^{x} d x}{e^{x}} = d x = d λ .$ $d\mu(e^x) = \frac{de^x}{e^x} = \frac{e^x dx}{e^x} = dx = d\lambda.$ $d\lambda$ $d\mu$

(3) stellt einen Isomorphismus zwischen den gemessenen Gruppen und . Die Reflexion im additiven Raum entspricht der Inversion im multiplikativen Raum, weil . $(\mathbb{R}, +, d\lambda)$ $(\mathbb{R}^{*}, *, d\mu)$ $x \to -x$ $x \to 1/x$ $e^{-x} = 1/e^x$

Wenden wir diese Beobachtungen an, indem wir das Wahrscheinlichkeitselement von als schreiben (implizites Verständnis von ) und nicht als : $Z=Y/X$ $d\mu$ $z \gt 0$ $d\lambda$

f_{Z} (z) d z = G_{Z} (z) d μ = \frac{1}{2} {\begin{cases} 1 d z = z d μ, & wenn 0 \leq z \leq 1 \\ \frac{1}{z^{2}} d z = \frac{1}{z} d μ, & wenn z > 1. \end{cases}

$f_Z(z)\,dz = g_Z(z)\,d\mu = \frac{1}{2}\begin{cases} 1\,dz = z\, d\mu, & \text{if } 0 \le z \le 1 \\ \frac{1}{z^2}dz = \frac{1}{z}\, d\mu, & \text{if } z > 1. \end{cases}$

Das heißt, die PDF in Bezug auf das invariante Maß $d\mu$ ist , proportional zu wenn und zu wenn , in der Nähe dessen, was Sie gehofft hatten. $g_Z(z)$ $z$ $0\lt z \le 1$ $1/z$ $1 \le z$

Dies ist kein einmaliger Trick. Wenn Sie die Rolle von verstehen , sehen viele Formeln einfacher und natürlicher aus. Zum Beispiel wird das Wahrscheinlichkeitselement der Gamma-Funktion mit dem Parameter , zu . Es ist einfacher, mit als mit wenn Sie durch Neuskalieren, Potenzieren oder Potenzieren transformieren . $d\mu$ $k$ $x^{k-1}e^x\,dx$ $x^k e^x d\mu$ $d\mu$ $d\lambda$ $x$

Die Idee einer invarianten Kennzahl für eine Gruppe ist auch viel allgemeiner und findet Anwendung in dem Bereich der Statistik, in dem Probleme eine gewisse Invarianz bei Gruppen von Transformationen aufweisen (z. B. Änderungen von Maßeinheiten, Rotationen in höheren Dimensionen usw.) ).

— whuber
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3

Sieht nach einer sehr aufschlussreichen Antwort aus. Schade, dass ich das im Moment nicht verstehe. Ich werde später wiederkommen.

— Qed

4

Wenn Sie geometrisch denken ...

In der - - Ebene Kurven konstanten sind Linien , die durch den Ursprung. ( ist die Steigung.) Man kann den Wert von von einer Linie durch den Ursprung ablesen, indem man den Schnittpunkt mit der Linie . (Wenn Sie schon einmal den projektiven Raum untersucht haben: Hier ist die homogenisierende Variable. Daher ist es eine relativ natürliche Sache, sich die Werte auf der Schicht anzusehen.) $X$ $Y$ $Z = Y/X$ $Y/X$ $Z$ $X=1$ $X$ $X=1$

Betrachten Sie ein kleines Intervall von s . Dieses Intervall kann auch auf der Linie als Liniensegment von bis diskutiert werden . Die Menge der Linien durch den Ursprung, die durch dieses Intervall verläuft, bildet ein ausgefülltes Dreieck im Quadrat Dies ist der Bereich, an dem wir tatsächlich interessiert sind Wenn , dann ist die Fläche des Dreiecks , also halte die Länge des Intervalls konstant und verschiebe es nach oben und unten die Linie (aber nicht nach oder $Z$ $(a,b)$ $X=1$ $(1,a)$ $(1,b)$ $(X,Y) \in U = [0,1]\times[0,1]$ $0 \leq a < b \leq 1$ $\frac{1}{2}(1-0)(b-a)$ $X=1$ $0$ $1$ ) ist die Fläche die gleiche, so dass die Wahrscheinlichkeit, ein im Dreieck auszuwählen, konstant ist, so dass die Wahrscheinlichkeit, ein im Intervall auszuwählen, konstant ist. $(X,Y)$ $Z$

Für die Grenze des Bereichs von der Linie und das Dreieck wird abgeschnitten. Wenn , sind die Projektionen nach unten durch den Ursprung von und zur oberen Grenze von zu den Punkten und . Der resultierende Bereich des Dreiecks ist . Daraus ergibt sich, dass die Fläche nicht einheitlich ist, und wenn wir weiter und weiter nach rechts schieben sinkt die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt im Dreieck auszuwählen, auf Null. $b>1$ $U$ $X = 1$ $1 \leq a < b$ $(1,a)$ $(1,b)$ $U$ $(1/a,1)$ $(1/b,1)$ $\frac{1}{2}(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})(1-0)$ $(a,b)$

Dann beendet die gleiche Algebra, die in anderen Antworten gezeigt wurde, das Problem. Zurückkehrend zur letzten Frage des OP entspricht einer Linie, die erreicht, jedoch nicht, so dass die gewünschte Symmetrie nicht gilt. $f_Z(1/2)$ $X=1$ $f_Z(2)$

— Eric Towers
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3

Nur zur Veranschaulichung, meine Intuition war völlig falsch. Wir sprechen von Dichte , nicht von Wahrscheinlichkeit . Die richtige Logik ist, das zu überprüfen

\int_{1}^{k} f_{Z} (z) d z = \int_{1 / k}^{1} f_{Z} (z) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{k})

$\int_1^k f_Z(z) dz = \int_{1/k}^1 f_Z(z) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{k})$ ,

und das ist in der Tat der Fall.

— qed
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1

Ja, der Link Verteilung eines Verhältnisses von Uniformen: Was ist falsch? stellt CDF von . Das PDF hier ist nur eine Ableitung der CDF. Die Formel ist also richtig. Ich denke, Ihr Problem liegt in der Annahme, dass Sie denken, dass Z um 1 "symmetrisch" ist. Dies ist jedoch nicht wahr. Intuitiv sollte Z eine verzerrte Verteilung sein, zum Beispiel ist es nützlich zu denken, wenn Y eine feste Zahl zwischen und X eine Zahl nahe 0 ist, daher würde das Verhältnis gegen unendlich gehen. Die Symmetrie der Verteilung ist also nicht wahr. Ich hoffe das hilft ein bisschen. $Z=Y/X$ $(0,1)$

— lzstat
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