Verteilung eines Uniformenverhältnisses: Was ist falsch?

Angenommen, und sind zwei einheitliche Zufallsvariablen für das Intervall $X$ $Y$ $[0,1]$

Sei , ich finde das cdf von , dh . $Z=X/Y$ $Z$ $\Pr(Z\leq z)$

Jetzt habe ich mir zwei Möglichkeiten ausgedacht, dies zu tun. Einer liefert hier eine korrekte Antwort, die mit dem PDF übereinstimmt: http://mathworld.wolfram.com/UniformRatioDistribution.html , der andere nicht. Warum ist die zweite Methode falsch?

Erste Methode

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \Pr(Z\leq z) = \Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X\leq zY) = \int^{1}_{0}\int^{\min(1,zy)}_{0} \rd x \rd y = \int^{1}_{0}\min(1,zy)\ \rd y$ $= \left\{ \begin{array}{lr} \int^{1/z}_{0}zy\ \rd y + \int^{1}_{1/z} \rd y& : z > 1\\ \int^{1}_{0}zy\ \rd y & : z \leq 1 \end{array} \right.$ $= \left\{ \begin{array}{lr} 1 - \frac{1}{2z} & : z > 1\\ \frac{z}{2} & : z \leq 1 \end{array} \right.$

Dies scheint korrekt zu sein.

Zweite Methode

$\Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(zY \geq 1) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(zY < 1)$ nach Gesamtwahrscheinlichkeit

$= \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(Y \geq 1/z) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(Y < 1/z)$

Wenn man erhält man $z>1$ $(1)(1-\frac{1}{z}) + (\int^{1/z}_{0}\int^{zy}_{0} \rd x \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + (\int^{1/z}_{0}zy\ \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + \frac{1}{2z^{2}}$

Das ist schon anders. Warum ist das falsch?

Vielen Dank!

— Junier
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Hier ist ein Hinweis .

Betrachten Sie den Begriff sorgfältig . Wählen Sie insbesondere der Vollständigkeit halber , damit wir das Ereignis . $\mathbb P( X \leq z Y \mid z Y < 1 )$ $z = 2$ $\mathbb P( X \leq 2 Y \mid Y < 1/2 )$

Schauen Sie sich nun dieses Bild an (das sehr eng mit der obigen Wahrscheinlichkeit zusammenhängt).

Bedingtes Wahrscheinlichkeitsdiagramm für das Verhältnis der Uniformen

Hängt diese bedingte Wahrscheinlichkeit von unserer Wahl von ? $z$

— Kardinal
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Ich denke , die mehr formale Beschreibung des Bildes ist: Sei können wir sehen , dass die pdf für ist so Aber ich verstehe immer noch nicht, warum das Einrichten des Integrals wie zuvor nicht funktioniert. Selbst wenn der Wert von z keine wirkliche Rolle spielt, warum kann dies nicht korrigiert werden, wenn die Integralgrenze von x auf zy und dann die Integralgrenze von y auf 1 / z gesetzt wird?

R = z Y

$R = zY$

R

$R$

1 / z

$1/z$

Pr (X \leq R \land R < 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{r} 1 / z d x d r = \frac{1}{2 z}

$\Pr(X \leq R \wedge R < 1) = \int^{1}_{0}\int^{r}_{0} 1/z\ dx\ dr = \frac{1}{2z}$

— Junier

Ah, ok, ich denke vielleicht habe ich es verstanden. Wir werden also diese kontrahierte Region {(x, y): y <1 / z} auf dem Einheitsquadrat haben, dann werden wir genau diese Region um z erweitern, also {(x, y): y <z / z}. Dh wieder die ganze Einheit quadratisch. Der Bereich, in dem x <y ist 1/2. Aber wie formalisieren wir diese Intuition mathematisch? dh nach diesem Vertrag Route formal erweitern? Und was sind einige Tipps, um solche Fehler zu vermeiden?

— Junier

@Junier Ein Bild zu zeichnen hilft oft :-).

— whuber

+1 @whuber. Zeichnen Sie im Zweifelsfall ein Bild. Dies scheint ausnahmslos die Probleme zu klären, die ich habe.

— Fomite

Es hängt davon ab, wie formal Sie dies mathematisch formalisieren möchten. Beachten Sie zunächst, dass die gemeinsame Wahrscheinlichkeit , nicht die bedingte Wahrscheinlichkeit, die Sie berechnen wollten. Dies ist ein ziemlich häufiger Fehler. Beachten Sie, dass das Teilen Ihrer Daten durch die richtige Antwort ergibt. (Dies ist nur die Regel von Bayes.)

\int_{0}^{1 / z} \int_{0}^{z y} d x d y

$\int_0^{1/z} \int_{0}^{zy} \mathrm{d}x \mathrm{d}y$

P (0 \leq X \leq z Y, 0 \leq Y \leq 1 / z)

$\mathbb P(0 \leq X \leq zY, 0 \leq Y \leq 1/z)$

P (0 \leq Y \leq 1 / z) = 1 / z

$\mathbb P(0 \leq Y \leq 1/z) = 1/z$

— Kardinal