Ein möglicher Fehler bei einer bedingten Wahrscheinlichkeitsableitung

Das Folgende ist eine Ableitung einer Dichte aus einer Arbeit, die ich gerade studiere. Entschuldigung für die schlechte Qualität, es ist ein ziemlich altes Papier. Ich muss klarstellen, dass die Standard-Exponentialdichte in , auf einheitlich ist und sie unabhängig sind. Der Populationskorrelationskoeffizient ist natürlich eine Konstante. und stammen aus der bivariaten Standardnormalverteilung, daher die trigonometrische Darstellung, aber dies spielt hier meiner Meinung nach keine Rolle. $R$ $(0,\infty)$ $U$ $(0,1)$ $\rho$ $X$ $Y$

Was ich nicht verstehe ist, wie der Autor zu diesen Schlussfolgerungen für positive oder negative . Es scheint mir, dass die Division durch eine negative Zahl und die Nicht- Negativität von nicht richtig berücksichtigt werden. Ich könnte mich natürlich irren, also würde ich mich über einen Rat freuen. Vielen Dank. $t$ $R$

— JohnK
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@ Xi'an Danke für deinen Kommentar. Diese Darstellung ergibt sich aus der Tatsache, dass

mit

und

unabhängig ist. Da die Summe die Varianz

und die Differenz

, hat

die gleiche Verteilung wie

X Y = [(X + Y)^{2} - (X - Y)^{2}] / 4

$XY = \left[ (X+Y)^2 -(X-Y)^2 \right]/4$

X - Y

$X-Y$

X + Y

$X+Y$

2 (1 + ρ)

$2(1+\rho)$

2 (1 - ρ)

$2(1-\rho)$

X Y

$XY$

wobei

nun die Standardnormalverteilung hat. Dann folgt das Ergebnis, indem

\frac{1}{2} ((1 + ρ) Z_{1}^{2} - (1 - ρ) Z_{2}^{2})

$\frac{1}{2}\left((1+\rho)Z_1^2 -(1-\rho) Z_2 ^2 \right)$

Z_{i}

$Z_i$

und

Z_{1} = \sqrt{- 2 \log (U_{1}}) \cos (2 π U_{2})

$Z_1=\sqrt{-2\log(U_1})\cos(2\pi U_2)$

, die Box-Muller-Transformation und uitlizing, dass

die Standard-Exponentialverteilung hat

Z_{2} = \sqrt{- 2 \log (U_{1})} \sin (2 π U_{2})

$Z_2=\sqrt{-2\log(U_1)} \sin(2\pi U_2)$

- \log (U)

$- \log(U)$

— JohnK

@ Xi'an Kein Problem. Würden Sie dann sagen, dass die folgenden Schritte korrekt sind?

— JohnK

Ich kann mich auch irren, sehe aber keine Schwierigkeiten bei der Zersetzung.

$t\ge 0$

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ &=P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0) \end{align*}$

R

$R$

P (X Y \geq t) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) = P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, U \leq \cos^{- 1} (- ϱ) / π) = \int_{0}^{\cos^{- 1} (- ϱ) / π} P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t) d u

$P(XY\ge t) = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\quad\qquad \\ \ \ \ = P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,U\le\cos^{-1}(-\varrho)/\pi)\\ = \int_0^{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi} P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t)\,\text{d}u$

$t\le 0$

R (\cos (π U) + ϱ) \geq t

$R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t$

\cos (π U) + ϱ \geq 0

$\cos(\pi U)+\varrho\ge 0$

\begin{aligned} P (R (\cos (π U) & + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \geq 0) \\ + P (R (\cos (π U) + ϱ) \geq t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P (R (- \cos (π U) - ϱ) \leq - t, \cos (π U) + ϱ \leq 0) \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + P {R \leq t / (\cos (π U) + ϱ), U \geq \cos^{- 1} (- ϱ) / π} \\ = P (\cos (π U) & + ϱ \geq 0) \\ + \int_{\cos^{- 1} (- ϱ) / π}^{1} P {R \leq t / (\cos (π u) + ϱ} \end{aligned}

$\begin{align*} P(R(\cos(\pi U)&+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(\cos(\pi U)+\varrho)\ge t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P(R(-\cos(\pi U)-\varrho)\le -t,\cos(\pi U)+\varrho\le 0)\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi U)+\varrho),U\ge\cos^{-1}(-\varrho)/\pi\right\}\\ =P(\cos(\pi U)&+\varrho\ge 0)\\ &+\int_{\cos^{-1}(-\varrho)/\pi}^1 P\left\{R\le t\big/(\cos(\pi u)+\varrho\right\} \end{align*}$

— Xi'an
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Ich glaube, mein Fehler bestand darin, den Kosinus umzukehren und die Ungleichungen nicht zu ändern. Ich danke Ihnen sehr für Ihre Antwort.

— JohnK