Wie berechnet man den erwarteten Wert einer Standardnormalverteilung?

Ich möchte lernen, wie man den erwarteten Wert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen berechnet. Es scheint, dass der erwartete Wert

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$ wobei

f (x)

$f(x)$ die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von

X

$X$ .

Angenommen, die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von ist $X$ ist die Dichte der Standardnormalverteilung.

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$

Also würde ich zuerst das PDF einstecken und was eine ziemlich chaotisch aussehende Gleichung ist. Die Konstante

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$

kann außerhalb des Integrals verschoben werden, was

ergibt

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x .

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$

Ich stecke hier fest. Wie berechne ich das Integral? Mache ich das soweit richtig? Ist der einfachste Weg, um den erwarteten Wert zu erhalten?

random-variable pdf expected-value

— mmh
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Ihr Fragentitel ist irreführend. Sie versuchen tatsächlich, den erwarteten Wert einer normalen normalen Zufallsvariablen zu berechnen. Sie können auch den erwarteten Wert einer Funktion eines Wohnmobils berechnen. Ich würde lieber den Titel einfügen: "Wie berechnet man den erwarteten Wert einer Standardnormalverteilung?" Oder "Wie berechnet man den erwarteten Wert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen?"

— Gumeo

@ GuðmundurEinarsson korrigiert.

— mmh

"Ich stecke hier fest. Wie berechne ich das Integral?" Finden Sie die Ableitung von

. (Nein, ich bin nicht scherzhaft und schlage Ihnen unnötige Arbeit vor; ich meine es todernst; Tu es einfach!). Dann starren Sie sehr genau auf die Ableitung, die Sie gefunden haben.

- e^{- \frac{x^{2}}{2}}

$-e^{-\frac{x^2}{2}}$

— Dilip Sarwate

Antworten:

Sie sind fast da, folgen Sie Ihrem letzten Schritt:

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} / 2} d (- \frac{x^{2}}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} ∣_{- \infty}^{\infty} = 0

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$

Oder Sie können direkt die Tatsache nutzen , dass eine ungerade Funktion ist und die Grenzen des Integral sind Symmetrie. $xe^{-x^2/2}$

— Tiefer Norden
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Das Symmetrieargument funktioniert nur, wenn beide Hälften selbst konvergent sind.

— Glen_b -Reinstate Monica

Können Sie erklären, was in der zweiten Reihe passiert?

— mmh

Glen's Kommentar ist richtig, wenn er nicht konvergent ist, dann wird die Änderung von Variablen nicht funktionieren

— Deep North

Die zweite Reihe ist gleich der ersten Reihe seit

Beachten Sie auch das negative Vorzeichen am Anfang. Dann können Sie an eine Änderung der Variablen für die Integration denken und diese dann wieder ändern, da sich die Grenzwerte nicht geändert haben. Oder Sie können die Integration nach Teilen verwenden. Und denkendaran

d (- \frac{x^{2}}{2}) = - x d x

$d(-\frac{x^2}{2})=-xdx$

\int_{a}^{b} e^{y} d y = e^{y} ∣_{a}^{b}

$\int_{a}^{b}e^y dy=e^y\mid_{a}^{b}$

— DEEP NORTH

Um die Symmetrie zu verwenden, um den Mittelwert zu erhalten, müssen Sie wissen, dass

konvergiert - dies ist in diesem Fall der Fall, aber im Allgemeinen können Sie dies nicht annehmen. Zum Beispiel würde das Symmetrieargument sagen, dass der Mittelwert des Standard-Cauchy 0 ist, aber es hat keinen.

\int_{0}^{\infty} x f (x) d x

$\int_0^\infty xf(x) dx$

— Glen_b -State Monica

Da Sie Methoden zur Berechnung von Erwartungen erlernen und einige einfache Methoden kennenlernen möchten, werden Sie die Momenterzeugungsfunktion (mgf) gerne verwenden.

ϕ (t) = E [e^{t X}] .

$\phi(t) = E[e^{tX}].$

Die Methode funktioniert besonders gut, wenn die Verteilungsfunktion oder ihre Dichte selbst als Exponentiale angegeben werden. In diesem Fall müssen Sie nach der Beobachtung keine Integration durchführen

t^{2} / 2 - {(x - t)}^{2} / 2 = t^{2} / 2 + (- x^{2} / 2 + t x - t^{2} / 2) = - x^{2} / 2 + t x,

$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$

auf , weil die Standardnormaldichtefunktion Schreiben als (für eine Konstante , deren Wert Sie müssen wissen , nicht), diese ermöglicht es Ihnen , seine mgf neu zu schreiben als $x$ $C e^{-x^2/2}$ $C$

ϕ (t) = C \int_{R} e^{t x} e^{- x^{2} / 2} d x = C \int_{R} e^{- x^{2} / 2 + t x} d x = e^{t^{2} / 2} C \int_{R} e^{- (x - t)^{2} / 2} d x .

$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$

$e^{t^2/2}$ $t$ $1$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} .

$\phi(t) = e^{t^2/2}.$

$t$ $\phi$ $0$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} = 1 + (t^{2} / 2) + \frac{1}{2} {(t^{2} / 2)}^{2} + \dots + \frac{1}{k!} {(t^{2} / 2)}^{k} + \dots .

$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$

$e^{tX}$ $tX$ , we also may write

E [e^{t X}] = E [1 + t X + \frac{1}{2} (t X)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} (t X)^{n} + \dots] = 1 + E [X] t + \frac{1}{2} E [X^{2}] t^{2} + \dots + \frac{1}{n!} E [X^{n}] t^{n} + \dots .

$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$

Two convergent power series can be equal only if they are equal term by term, whence (comparing the terms involving $t^{2k} = t^n$ )

\frac{1}{(2 k)!} E [X^{2 k}] t^{2 k} = \frac{1}{k!} (t^{2} / 2)^{k} = \frac{1}{2^{k} k!} t^{2 k},

$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$

implying

E [X^{2 k}] = \frac{(2 k)!}{2^{k} k!}, k = 0, 1, 2, \dots

$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$

(and all expectations of odd powers of $X$ are zero). For practically no effort you have obtained the expectations of all positive integral powers of $X$ at once.

Variations of this technique can work just as nicely in some cases, such as $E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$ , provided the range of $X$ is suitably limited. The mgf (and its close relative the characteristic function $E[e^{itX}]$ ) are so generally useful, though, that you will find them given in tables of distributional properties, such as in the Wikipedia entry on the Normal distribution.

— whuber
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