Was ist so 'Moment' an 'Momenten' einer Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Ich weiß, was Momente sind und wie man sie berechnet und wie man die Momentgenerierungsfunktion verwendet, um Momente höherer Ordnung zu erhalten. Ja, ich kenne die Mathematik.

Jetzt, wo ich mein Statistikwissen für die Arbeit verbessern muss, dachte ich, ich könnte diese Frage genauso gut stellen - es nervt mich schon seit ein paar Jahren und als ich noch am College war, wusste kein Professor die Antwort oder würde die Frage einfach (ehrlich) ablehnen. .

Was bedeutet das Wort "Moment" in diesem Fall? Warum diese Wortwahl? Das hört sich für mich nicht intuitiv an (oder ich habe es im College noch nie so gehört :) Wenn ich mir das überlege, bin ich genauso neugierig auf seine Verwendung im Moment der Trägheit;), aber konzentrieren wir uns jetzt nicht darauf.

Also, was bedeutet ein "Moment" einer Distribution und was versucht sie zu tun und warum DIESES Wort! :) Warum interessiert sich jemand für Momente? In diesem Moment fühle ich mich anders über diesen Moment;)

PS: Ja, ich habe wahrscheinlich eine ähnliche Frage zur Varianz gestellt, aber ich schätze intuitives Verstehen, wenn ich in dem Buch nachschaue, um es herauszufinden :)

Laut dem Artikel "Erstes (?) Auftreten allgemeiner Ausdrücke in der mathematischen Statistik" von HA David wurde das Wort "Moment" in dieser Situation erstmals 1893 in einem Brief an die Natur von Karl Pearson mit dem Titel "Asymmetrische Frequenzkurven" verwendet .

Neymans Biometrika- Arbeit von 1938 "Eine historische Notiz zu Karl Pearsons Ableitung der Momente des Binomials" bietet eine gute Übersicht über den Brief und Pearsons nachfolgende Arbeit über Momente der Binomialverteilung und die Methode der Momente. Es ist eine wirklich gute Lektüre. Hoffentlich haben Sie Zugriff auf JSTOR, da ich jetzt nicht die Zeit habe, eine gute Zusammenfassung des Papiers zu geben (obwohl ich dies an diesem Wochenende tun werde). Ich möchte jedoch ein Stück erwähnen, das Aufschluss darüber gibt, warum der Begriff "Moment" verwendet wurde. Aus Neymans Papier:

$\alpha$

Dies führte schließlich zur "Methode der Momente". Neyman geht auf die Ableitung der binomischen Momente durch Pearson im obigen Artikel ein.

Und aus Pearsons Brief:

$s^{\text{th}}$$d = c(1 + nq)$

Dies deutet darauf hin, dass Pearson den Begriff „Moment“ als Anspielung auf den in der Physik gebräuchlichen Begriff „ Trägheitsmoment“ verwendete.

Hier ist ein Scan des größten Teils von Pearsons Nature- Brief:

Den gesamten Artikel auf Seite 615 finden Sie hier .

Jeder hat seinen Moment auf Momente. Ich hatte meine in Cumulant und Momentnamen jenseits von Varianz, Schiefe und Kurtosis und verbrachte einige Zeit damit, diesen wunderbaren Thread zu lesen.

Seltsamerweise fand ich die "Moment-Erwähnung" in "HA Davids Artikel" nicht. Also ging ich zu Karl Pearson: Das wissenschaftliche Leben in einem statistischen Zeitalter , einem Buch von TM Porter, und Karl Pearson und den Ursprüngen der modernen Statistik: Ein Elastiker Er wird Statistiker und hat beispielsweise eine Geschichte der Theorie der Elastizität und der Festigkeit von Materialien von Galilei bis zur Gegenwart herausgegeben .

Sein Hintergrund war sehr breit und er war insbesondere ein Professor für Ingenieurwesen und Elastiker, der an der Bestimmung der Biegemomente einer Brückenspanne und der Berechnung der Beanspruchung von Mauerwerksstauwerken beteiligt war. In der Elastizität beobachtet man nur begrenzt, was gerade vor sich geht (Bruch). Er schien interessiert zu sein an (aus Porters Buch):

grafische Berechnung oder, in seiner würdigsten und mathematischsten Form, grafische Statik.

Später :

Schon zu Beginn seiner statistischen Karriere hat er Kurven mit der "Methode der Momente" erstellt. In der Mechanik bedeutete dies, einen komplizierten Körper einem einfachen oder abstrakten zuzuordnen, der den gleichen Schwerpunkt und den gleichen "Schwenkradius" wie der erste und der zweite Moment hatte. Diese Größen entsprachen in der Statistik dem Mittelwert und der Streuung oder Streuung der Messungen um den Mittelwert.

Und seit:

Pearson befasste sich mit diskreten Messintervallen, dies war eher eine Summe als ein Integral

Trägheitsmomente können für eine Zusammenfassung eines sich bewegenden Körpers stehen: Berechnungen können durchgeführt werden, als ob der Körper auf einen einzigen Punkt reduziert wäre.

Pearson stellte diese fünf Gleichungen als Gleichungssystem auf, das sich zu einem der neunten Grade zusammensetzte. Eine numerische Lösung war nur durch sukzessive Näherungen möglich. Es hätte bis zu neun echte Lösungen geben können, obwohl es im vorliegenden Fall nur zwei gab. Er zeichnete beide Ergebnisse neben dem Original auf und war im Allgemeinen mit dem Erscheinungsbild des Ergebnisses zufrieden. Er verließ sich jedoch nicht auf eine visuelle Kontrolle, um zwischen ihnen zu entscheiden, sondern errechnete den sechsten Moment, um die beste Übereinstimmung zu bestimmen

Kehren wir zur Physik zurück. Ein Moment ist eine physikalische Größe, die die lokale Anordnung einer physikalischen Eigenschaft im Allgemeinen in Bezug auf einen bestimmten Ordnungspunkt oder eine bestimmte Ordnungsachse (klassisch in Raum oder Zeit) berücksichtigt. Es fasst physikalische Größen zusammen, die in einiger Entfernung von einer Referenz gemessen wurden. Ist die Menge nicht auf einen Punkt konzentriert, wird der Moment über den gesamten Raum mittels Integralen oder Summen "gemittelt".

Offensichtlich lässt sich der Begriff der Momente auf die Entdeckung des Funktionsprinzips des von Archimedes "entdeckten" Hebels zurückführen. Eines der ersten bekannten Vorkommen ist das lateinische Wort "Momentorum" mit dem gegenwärtig akzeptierten Sinn (Moment um ein Rotationszentrum). Im Jahr 1565 übersetzte Federico Commandino das Werk von Archimedes (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) wie folgt:

Der Schwerpunkt jeder festen Figur ist der Punkt in ihr, um den herum allseitig Teile gleichen Moments stehen.

oder

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est punctum illud intra positum

Anscheinend ist die Analogie zur Physik ziemlich stark: Finden Sie aus einer komplizierten diskreten physischen Form Größen, die dieser hinreichend nahe kommen, eine Form der Kompression oder Sparsamkeit.

Statistische Momente sind zu simpel und daher zusätzliche Deskriptoren einer Kurve / Verteilung. Wir kennen die ersten beiden Momente und diese sind im Allgemeinen für kontinuierliche Normalverteilungen oder ähnliche Kurven nützlich. Diese ersten beiden Momente verlieren jedoch ihren informativen Wert für andere Distributionen. Somit liefern andere Momente zusätzliche Informationen über die Form der Verteilung.

Frage: Was bedeutet das Wort "Moment" in diesem Fall? Warum diese Wortwahl? Das hört sich für mich nicht intuitiv an (oder ich habe es im College noch nie so gehört :) Wenn ich mir das überlege, bin ich genauso neugierig auf seine Verwendung im Moment der Trägheit;), aber konzentrieren wir uns jetzt nicht darauf.

Antwort: Tatsächlich ist im historischen Sinne der Moment der Trägheit wahrscheinlich der Ort, von dem der Sinn des Wortes Momente kommt. In der Tat kann man (wie unten gezeigt) zeigen, wie das Trägheitsmoment mit der Varianz zusammenhängt. Dies ergibt auch eine physikalische Interpretation höherer Momente.

In der Physik ist ein Moment ein Ausdruck, der das Produkt einer Entfernung und einer physikalischen Größe beinhaltet und auf diese Weise erklärt, wie die physikalische Größe lokalisiert oder angeordnet ist. Momente werden normalerweise in Bezug auf einen festen Bezugspunkt definiert; Sie behandeln physikalische Größen, die in einiger Entfernung von diesem Bezugspunkt gemessen werden. Beispielsweise ist das auf ein Objekt einwirkende Moment der Kraft, das oft als Drehmoment bezeichnet wird, das Produkt der Kraft und des Abstands von einem Referenzpunkt, wie im folgenden Beispiel.

$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$

$$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$$ $B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$\Gamma(.)$$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

$z$$x$$x,y$

$$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$\mu=\dfrac{1}{2}$

$0\leq r\leq1$$2\leq r\leq4$

$r$$z$

$$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$$I$

$n^{\text{th}}$

$$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$$ $n^{\text{th}}$

Was ist, wenn wir rückwärts rechnen wollen, das heißt, ein 3D-Volumenobjekt nehmen und es in eine Wahrscheinlichkeitsfunktion umwandeln? Dann wird es etwas kniffliger. Nehmen wir zum Beispiel einen Torus .

$r$$z$

$I$$\sigma^2$$I=\dfrac{\tau}{a}$$\tau$$a$