Zufälliges Gehen mit Schwung

Betrachten Sie einen ganzzahligen Zufallsrundgang ab 0 unter den folgenden Bedingungen:

Der erste Schritt ist plus oder minus 1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
Jeder zukünftige Schritt ist: 60% wahrscheinlich in die gleiche Richtung wie der vorherige Schritt, 40% wahrscheinlich in die entgegengesetzte Richtung

Welche Verteilung bringt das?

Ich weiß, dass ein zufälliger Gang ohne Impuls eine Normalverteilung ergibt. Ändert der Impuls nur die Varianz oder die Art der Verteilung vollständig?

Ich suche nach einer generischen Antwort, also meine ich mit 60% und 40% mehr wirklich p und 1-p

stochastic-processes randomness random-walk

— barrycarter
quelle

Tatsächlich, @Dilip, brauchen Sie eine Markov-Kette mit Zuständen, die durch geordnete Paare

und

, indiziert sind . Die Übergänge sind

und

(i, i + 1)

$(i,i+1)$

(i, i - 1)

$(i,i-1)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$

mit der Wahrscheinlichkeit

und

mit der Wahrscheinlichkeit

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$

p

$p$

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$

1 - p

$1-p$

— whuber

Beachten Sie, dass die Schrittgrößen eine Markov-Kette auf

und Sie sie zufällig (?!) bei einer stationären Verteilung gestartet haben.

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$

— Kardinal

Sind Sie wollen eine Begrenzung (marginal) Verteilung für

, wo die

sind die Schritte des Weges?

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$

— Kardinal

Ein anderer Ansatz könnte darin bestehen, sich alternierende Summen geometrischer Zufallsvariablen anzusehen und dann eine Martingaltheorie anzuwenden. Das Problem ist, dass Sie eine Art Stoppzeit definieren müssen, die schwierig sein kann.

— Shabbychef

Antworten:

Um sofort zum Schluss zu kommen, ändert der "Impuls" nicht die Tatsache, dass die Normalverteilung eine asymptotische Annäherung an die Verteilung des Zufallslaufs ist, sondern die Varianz ändert sich von $4np(1-p)$ zu . Dies kann in diesem speziellen Fall durch relativ elementare Überlegungen abgeleitet werden. Es ist nicht schwierig, die folgenden Argumente auf eine CLT für Markov-Ketten im endlichen Zustandsraum zu verallgemeinern, aber das größte Problem ist tatsächlich die Berechnung der Varianz. Für das jeweilige Problem kann es $np/(1-p)$ berechnet werden, und hoffentlich können die folgenden Argumente den Leser davon überzeugen, dass es sich um die richtige Varianz handelt.

Unter Verwendung der Einsicht, die Cardinal in einem Kommentar liefert, wird der Zufallslauf als wobei und die eine Markov-Kette mit Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix bilden Aus asymptotischen Überlegungen spielt die Anfangsverteilung von keine Rolle, wenn

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

für das folgende Argument, und nehme auch an, dass

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$ . Eine raffinierte Technik besteht darin, die Markov-Kette in unabhängige Zyklen zu zerlegen. Sei

das erste Mal nach dem Zeitpunkt 1, dass die Markov-Kette zu 1 zurückkehrt. Das heißt, wenn

dann

, und wenn

und

dann

σ_{1}

$\sigma_1$

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$ . Im Allgemeinen sei

die

-te Rückkehrzeit zu 1 und sei

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$ die Zwischenrückkehrzeiten (mit

). Mit diesen Definitionen haben wir

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

Mit ist $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
Da den Wert annimmt , für und gilt , daß $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
Die Inter-Return-Zeiten für eine Markov-Kette sind iid (formal aufgrund der starken Markov-Eigenschaft) und in diesem Fall mit dem Mittelwert und der Varianz $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ . Nachfolgend wird angegeben, wie der Mittelwert und die Varianz berechnet werden. $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
Die gewöhnliche CLT für iid Variablen ergibt , dass $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
Das letzte , was zu beachten, die einen kleinen Sprung des Glaubens erfordert, weil ich die Details auslassen, ist , dass , die Ausbeuten , dass $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

$\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
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+1 schön. Ich hätte nur assymptotische Distribution für geschrieben

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$

$\rho$ $\rho = 2p - 1$

True standard error of \bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1 - p}} \frac{s}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

n

$n$

s

$s$

n

$n$

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$

edit : ich hatte die falsche autokorrelation (bzw $p$ hätte anders ausgelegt werden sollen); ist jetzt konsequent (hoffe ich!)

— shabbychef
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Interessant. Ich bin mir nicht sicher, ob das etwas sehr Sinnvolles für das ergibt

p = 0

$p=0$ Subcase; Dies könnte jedoch auf mit diesem Fall verbundene Pathologien zurückzuführen sein.

— Kardinal

@ Kardinal guter Fang, sollte die Autokorrelation sein

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$ nicht

1 - 2 p

$1 - 2p$ . Korrekturen ...

— Shabbychef