Das Gefangenenparadoxon

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Ich bekomme eine Übung und kann es nicht ganz herausfinden.

Das Gefangenenparadoxon
Drei Gefangene in Einzelhaft, A, B und C, wurden am selben Tag zum Tode verurteilt. Da es jedoch einen Nationalfeiertag gibt, beschließt der Gouverneur, dass einem eine Begnadigung gewährt wird. Die Gefangenen werden darüber informiert, aber ihnen wird mitgeteilt, dass sie bis zu dem für die Hinrichtungen geplanten Tag nicht wissen werden, welcher von ihnen verschont bleiben soll.

Gefangener A sagt zu dem Gefängniswärter: „Ich weiß bereits, dass mindestens einer der beiden anderen Gefangenen hingerichtet wird. Wenn Sie mir also den Namen eines Hingerichteten mitteilen, haben Sie mir keine Informationen über meine eigene Hinrichtung gegeben.“ .

Der Gefängniswärter akzeptiert dies und sagt ihm, dass C definitiv sterben wird.

Ein Grund dafür: „Bevor ich wusste, dass C hingerichtet werden sollte, hatte ich eine 1: 3-Chance, eine Begnadigung zu erhalten. Jetzt weiß ich, dass entweder B oder ich begnadigt werden, die Chancen haben sich auf 1 zu 2 verbessert. “

Aber der Gefängniswärter weist darauf hin: "Sie hätten zu einem ähnlichen Ergebnis kommen können, wenn ich gesagt hätte, dass B sterben wird, und ich musste entweder B oder C antworten. Warum mussten Sie also fragen?"

Wie stehen die Chancen von A, eine Begnadigung zu erhalten, und warum? Konstruieren Sie eine Erklärung, die andere davon überzeugen würde, dass Sie Recht haben.

Sie könnten dies durch den Bayes-Satz, durch Zeichnen eines Glaubensnetzwerks oder durch gesunden Menschenverstand angehen. Welchen Ansatz Sie auch wählen, Sie sollten Ihr Verständnis des täuschend einfachen Konzepts der bedingten Wahrscheinlichkeit vertiefen.

Hier ist meine Analyse:

Dies sieht aus wie das Monty Hall-Problem , ist aber nicht ganz. Wenn A sagt, I change my place with Bnachdem ihm gesagt wurde, dass C sterben wird, hat er 2/3 Chancen, gerettet zu werden. Wenn er es nicht tut, würde ich sagen, dass seine Chancen 1/3 sind zu leben, wie wenn Sie Ihre Wahl im Monty Hall Problem nicht ändern. Aber zur gleichen Zeit ist er in einer Gruppe von 2 Jungs, und einer sollte sterben, also ist es verlockend zu sagen, dass seine Chancen 1/2 sind.

Das Paradoxon ist also immer noch da. Wie würden Sie das angehen? Ich habe auch keine Ahnung, wie ich ein Glaubensnetzwerk darüber aufbauen könnte, also bin ich daran interessiert, das zu sehen.

probability self-study

— Benjamin Crouzier
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"Er ist in einer Gruppe von 2 Jungs" bedeutet nicht "seine Chancen sind 1/2"

— Henry

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Zunächst gibt es drei Möglichkeiten mit gleichen Wahrscheinlichkeiten:

A wird freigegeben (prob ) $1/3$
B werden freigegeben (prob ) $1/3$
C befreit wird (prob ) $1/3$

Mit dem Versprechen der Nachricht gibt es vier Möglichkeiten mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten:

A befreit wird , und A wird gesagt , B ausgeführt wird (prob ) $1/6$
A wird befreit und A ist C gesagt wird (prob ausgeführt werden ) $1/6$
B freigegeben wird , und A wird gesagt C ausgeführt wird (prob ) $1/3$
C wird befreit und A wird gesagt , B ausgeführt wird (prob ) $1/3$

Bedingt durch "A wird mitgeteilt, dass C ausgeführt wird" wird dies

A wird befreit und A ist C gesagt wird (prob ausgeführt werden ) $1/3$
B freigegeben wird , und A wird gesagt C ausgeführt wird (prob ) $2/3$

So nach der Nachricht würde A - Swap wie mit B (der Monty Hall Problem) , aber kann nicht und hält so die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit ausgeführt werden. $2/3$

— Henry
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A möchte mit B tauschen ist der Schlüssel. Um eine der üblichen Erklärungen von Monty Hall zu nehmen: Stellen Sie sich vor, es gibt 1000 Gefangene: A fragt den Gefängniswärter, der ihm 998 Namen gibt. Offensichtlich haben wir gerade viel über den einen Kerl gelernt, der nicht A ist und der nicht genannt wird . Aber wir haben nichts über A gelernt .

— Ben Jackson

Ich denke, in A's Position ist es eine sehr gute Strategie für ihn, die Wache danach zu fragen. Sprechen Sie später mit B und fragen Sie, ob er wechseln möchte. Wenn er zustimmt, könnt ihr die Henker fragen, ob, wenn einer von ihnen befreit werden soll, der andere befreit werden soll. Aus Bs Sicht ändern sich seine Chancen nicht, daher gibt es keinen Grund für ihn, Nein zu sagen (oder Ja zu sagen, also ist es zu diesem Zeitpunkt eine Frage des Drucks)

— Cruncher

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Ich denke, Sie überdenken das Problem - es ist ein Monty Hall-Problem und die gleiche Logik gilt.

— babelproofreader
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Kannst du dich entwickeln? Ich bin an der Argumentation interessiert, nicht an der Antwort

— Benjamin Crouzier

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@pinouchon: Der Gefängniswärter ist Monty Hall und Gefangener A ist der Spieler. Sterben ist analog zu einer Ziege; Begnadigung ist analog zu einem Preis. Jetzt können Sie jede Erklärung des Monty Hall-Problems, die Sie mögen, direkt übersetzen: Das deckt viele Überlegungen ab. +1 an babelproofreader für den Hinweis.

— whuber

Wie würden Sie gegen diese Aussage argumentieren : But at the same time, he is in a group of 2 guys, and one should die, so it is tempting to say that his chances are 1/2.. Und was ist mit dem Glaubensnetzwerk?

— Benjamin Crouzier

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@Pinouchon Es wäre konstruktiv, Ihre Frage zu bearbeiten, um sich auf den Aspekt des Glaubensnetzwerks zu konzentrieren. Das Monty Hall-Problem selbst wurde an vielen, vielen Orten zu Tode diskutiert, daher sehe ich keinen Grund darin, dieses Material hier erneut aufzuwärmen.

— whuber

Ich stimme zu, dass das Monty Hall-Problem zu Tode diskutiert wurde, aber trotz der Behauptungen von Babelproof und Whuber sehe ich nicht, wo Gefangener A die Plätze wechseln kann. Wenn der Gefängniswärter drei versiegelte Umschläge hatte, einen mit Begnadigung und zwei mit Todesurteilen, nahm A einen Umschlag und der Gefängniswärter öffnete einen anderen (genau die gleichen Regeln, die ich in einer separaten Antwort angegeben hatte) und zeigte, dass er ein Todesurteil enthielt, und dann fragte A "Möchten Sie den Umschlag behalten, den Sie ausgewählt haben, oder möchten Sie lieber wechseln?" Ich kann die Analogie sehen

— Dilip Sarwate

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Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich @babelproofreader zustimme, dass dies ein Monty Hall-Problem ist und dieselbe Logik gilt. Im Monty Hall-Problem gehen Sie nach unten und wählen eine Tür aus. Die Regeln sind, dass Monty weiß, wo sich der Preis befindet, niemals eine Tür öffnet, die den Preis verbirgt, und immer eine der nicht gewählten Türen öffnet (dh wenn Sie eine Tür ohne Preis gewählt haben, wird er die Tür, die Sie haben, nicht öffnen gewählt und sagen: "Entschuldigung, Sie verlieren!" und senden Sie zurück zu Ihrem Platz), und er wird immer die Wahl anbieten, zur anderen (ungeöffneten ungeöffneten) Tür zu wechseln (dh er wird die Wahl nicht nur anbieten, wenn Sie gewählt haben die Tür mit dem Preis.) Wenn unter diesen Umständen das Ereignis bezeichnet, dass Ihre erste Wahl die Tür mit dem Preis ist, dann ist $A$ . Wennder Fall ist, dass Ihre letzte Wahl die Tür mit dem Preis ist, dann $P(A) = \frac{1}{3}$ $B$

Wenn Ihre Strategie darin besteht, immer auf dem Laufenden zu bleiben , ist (da Sie am Anfang die richtige Wahl getroffen haben und dabei bleiben) und (weil Sie eine falsche Wahl getroffen haben) Wahl am Anfang und bleiben dabei). Nach dem Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit ist $P(B \mid A) = 1$ $P(B \mid A^c) = 0$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 1 \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Wenn Ihre Strategie darin besteht, immer zu wechseln , ist (da Sie am Anfang die richtige Wahl getroffen und dann gewechselt haben) und (weil Sie in der Wahl eine falsche Wahl getroffen haben) Anfang und so hat die verbleibende (ungeöffnete ungeöffnete) Tür garantiert den Preis). Nach dem Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit ist also $P(B \mid A) = 0$ $P(B \mid A^c) = 1$ $P (B) = P (B ∣ A) P (A) + P (B ∣ A^{c}) P (A^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ $P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

$B$

$1$ $3$ unabhängig davon, ob Monty eine unbekannte Tür öffnet, um eine Ziege zu enthüllen oder nicht, oder der Gefängniswärter A mitteilt, dass C genau so ausgeführt wird, wie Henry es im Detail berechnet hat oder nicht.

— Dilip Sarwate
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Ich denke, wir können davon ausgehen, dass der Gefängniswärter über diese Informationen verfügt, andernfalls ist das Problem nicht zu begründen (wenn der Gefängniswärter eine unbekannte Wahrscheinlichkeit zu lügen hat, könnten sie genauso gut nichts gesagt haben). Was Ihren ersten Punkt betrifft: Sicher, das Ergebnis ist anders als beim Monty Hall-Problem, da es keine Option zum Wechseln gibt. Die Logik ist jedoch dieselbe: Indem eine Option enthüllt wird, die kein Gewinner ist, werden Informationen über eine andere Option bereitgestellt, die der Gefängniswärter / Monty hätte auswählen können.

— Ruben van Bergen

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Die Antwort hängt davon ab, wie der Gefängniswärter den zu benennenden Gefangenen auswählt, wenn er weiß, dass A begnadigt werden soll. Betrachten Sie zwei Regeln:

1) Der Gefängniswärter wählt zufällig zwischen B und C und hat in diesem Fall zufällig C gesagt. Dann ist A's Chance, begnadigt zu werden, 1/3.

2) Der Gefängniswärter sagt immer C. Dann ist A's Chance, begnadigt zu werden, 1/2.

Alles, was uns gesagt wird, ist, dass der Gefängniswärter C gesagt hat, also wissen wir nicht, welche dieser Regeln er befolgt hat. Tatsächlich könnte es andere Regeln geben - vielleicht würfelt der Gefängniswärter und sagt nur C, wenn er eine 6 würfelt.

— Ringold
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Wie von anderen erwähnt, ist das Problem der drei Gefangenen eine Neuformulierung von Monty Hall. Weitere Informationen finden Sie in Abschnitt 1.7 dieses Dokuments unter http://faculty.winthrop.edu/abernathyk/Monty%20Hall%20Problem.pdf

— Zen
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Stellen Sie sich vor, der Gefängniswärter sagt A, dass C definitiv sterben wird. Und dann sagt er B, dass C definitiv sterben wird. In diesem Fall ist klar, dass A und B jeweils 50% zu begnadigen haben. Aber was ist der Unterschied zwischen den beiden Versionen?

— gach
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Drei Gefangene Problem ist verschieden von Monty Hall. Die Wahrscheinlichkeit, begnadigt zu werden, ist tatsächlich $1/2$ für Alice nicht $2/3$ , aber nur, wenn der Gefängniswärter der Strategie "Bob immer benennen, wenn möglich" folgt.

Veranstaltungen: $A$ - Alice wird begnadigt. Gleiches gilt für $B$ und $C$ . $J$ - Gefängniswärter sagt Alice den Namen "Bob" (als Antwort auf "wer wird hingerichtet"). $J^c$ - Er sagt Name "Carl". Er kann Alice wegen der Regeln nicht selbst nennen.

Wir interessieren uns für $P(A|J) = P(J|A)P(A)/P(J)$ . Nun gibt es zwei Szenarien:

Der Gefängniswärter wirft eine Münze, bevor er B oder C sagt: $P(J|A) = \frac{1}{2}$ .

P. ((EIN | J.) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} /. \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

$P(A|J) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} / \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

Der Gefängniswärter sagt Bob wann immer möglich: $P(J|A) = 1$ , ebenfalls $P(J|C) = 1$ und $P(J|B) = 0$ .

P (J) = P (J | B) P (B) + P (J | B^{c}) P (B^{c}) = 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

$P(J) = P(J|B)P(B) + P(J|B^c)P(B^c) = 0\times\frac{1}{3} + 1\times\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

P (A | J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

$P(A|J) = 1 \times \frac{1}{3} / \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

— Mikhail Volkhov
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Wäre "Carl immer benennen, wenn möglich" nicht so plausibel wie "Bob immer benennen, wenn möglich"?

— Juho Kokkala

Ja, die Strategie S '= "Wenn möglich immer Carl nennen" muss völlig gleichwertig sein, wenn wir J entsprechend neu definieren. Wenn wir J so lassen, wie es ist, und den Gefängniswärter zwingen, S 'zu folgen, wird alles vorherbestimmt: Wann immer J (Gefängniswärter sagt Bob), wissen wir, dass es nicht möglich war, "Carl" zu sagen, daher wurde Carl begnadigt .

— Mikhail

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Nachdem er die Information erhalten hat, dass Gefangener C sterben wird, ändern sich seine Chancen auf 1/2, aber nur, weil die Wahrscheinlichkeit, dass er diese Informationen erhält, bereits 2/3 beträgt (die 1/3 Möglichkeit, dass Gefangener C die Begnadigung erhält, ist ausgeschlossen )

Und 2/3 * 1/2 ist die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit, befreit zu werden.

Überzeugender ist der oppositionelle Ansatz:

Angenommen, ihm wird gesagt, dass Gefangener C die Begnadigung erhalten wird.
Wie hoch sind seine Chancen, nicht getötet zu werden?
Jeder wird anerkennen, dass seine Chancen Null sind, vorausgesetzt, der Gefängniswärter lügt nicht und es gibt nur eine Entschuldigung.

Dieses Mal hat er die Chance von 1/1, weil die Chance für diese Informationen bereits 1/3 war.

— Sunzi
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Das ist nicht richtig; Siehe die Berechnung in Henrys Antwort, die zeigt, dass Gefangener A nach Anhörung der Informationen des Gefängnisinsassen eine 2/3 Sterbewahrscheinlichkeit hat (nicht 1/2). Dies ist die gleiche Wahrscheinlichkeit, die er zuvor hatte, also hat der Gefängniswärter Recht: Was er A sagte, änderte nichts an A's Lebenserwartung. Wenn B jedoch zuhörte, würde er jetzt wissen, dass seine Sterbewahrscheinlichkeit auf 1/3 reduziert war.

— Ruben van Bergen