Das Monty Hall Problem - wo versagt unsere Intuition?

Aus Wikipedia:

Angenommen, Sie sind in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei Türen: Hinter einer Tür steht ein Auto; hinter den anderen Ziegen. Sie wählen eine Tür, sagen Sie Nr. 1, und der Gastgeber, der weiß, was sich hinter den Türen befindet, öffnet eine weitere Tür, sagen Sie Nr. 3, die eine Ziege hat. Dann sagt er zu dir: "Möchtest du Tür Nr. 2 öffnen?" Ist es zu Ihrem Vorteil, Ihre Wahl zu ändern?

Die Antwort lautet natürlich ja - aber es ist unglaublich einfach. Welches Missverständnis haben die meisten Menschen über die Wahrscheinlichkeit, dass wir uns am Kopf kratzen - oder besser gesagt; Welche allgemeine Regel können wir aus diesem Rätsel herausnehmen, um unsere Intuition in Zukunft besser zu trainieren?

Betrachten Sie zwei einfache Varianten des Problems:

1. Für den Teilnehmer werden keine Türen geöffnet. Der Gastgeber bietet keine Hilfe bei der Auswahl einer Tür. In diesem Fall ist es offensichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit, die richtige Tür zu wählen, 1/3 beträgt.
2. Bevor der Kandidat aufgefordert wird, eine Vermutung anzustellen, öffnet der Gastgeber eine Tür und deckt eine Ziege auf. Nachdem der Host eine Ziege entdeckt hat, muss der Kandidat das Auto von den beiden verbleibenden Türen holen. In diesem Fall ist es offensichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit, die richtige Tür zu wählen, 1/2 beträgt.

Damit ein Kandidat weiß, mit welcher Wahrscheinlichkeit seine Wahl richtig ist, muss er wissen, wie viele positive Ergebnisse ihm zur Verfügung stehen, und diese Zahl durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse dividieren. Aufgrund der beiden oben beschriebenen einfachen Fälle ist es sehr natürlich, sich alle möglichen Ergebnisse als die Anzahl der zur Auswahl stehenden Türen und die Anzahl der positiven Ergebnisse als die Anzahl der Türen vorzustellen, die ein Auto verbergen. Ausgehend von dieser intuitiven Annahme bleibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine der Türen ein Auto enthält, 1/2 , selbst wenn der Host eine Tür öffnet, um eine Ziege zu enthüllen, nachdem der Kandidat eine Vermutung angestellt hat.

In der Realität erkennt die Wahrscheinlichkeit eine Reihe möglicher Ergebnisse, die größer als die drei Türen sind, und eine Reihe positiver Ergebnisse, die größer als die einzelne Tür mit dem Auto sind. Bei der korrekten Analyse des Problems stellt der Gastgeber dem Teilnehmer neue Informationen zur Verfügung, wobei eine neue Frage gestellt wird: Mit welcher Wahrscheinlichkeit gehe ich davon aus, dass die vom Gastgeber bereitgestellten neuen Informationen ausreichen, um mich über die richtige zu informieren Tür? Bei der Beantwortung dieser Frage handelt es sich bei den positiven Ergebnissen und den möglichen Ergebnissen nicht um greifbare Türen und Autos, sondern um abstrakte Anordnungen von Ziegen und Autos. Die drei möglichen Ergebnisse sind die drei möglichen Anordnungen von zwei Ziegen und einem Auto hinter drei Türen. Die beiden positiven Ergebnisse sind die beiden möglichen Vereinbarungen, bei denen die erste Vermutung des Teilnehmers falsch ist. In jeder dieser beiden Anordnungen sind die vom Gastgeber gegebenen Informationen (eine der beiden verbleibenden Türen ist leer) ausreichend, damit der Teilnehmer die Tür bestimmen kann, die das Auto verbirgt.

In Summe:

Wir neigen dazu, nach einer einfachen Zuordnung zwischen den physischen Erscheinungsformen unserer Wahl (Türen und Autos) und der Anzahl der möglichen Ergebnisse und gewünschten Ergebnisse in einer Frage der Wahrscheinlichkeit zu suchen. Dies funktioniert in Fällen, in denen dem Teilnehmer keine neuen Informationen zur Verfügung gestellt werden. Wenn der Teilnehmer jedoch mehr Informationen erhält (dh eine der Türen, die Sie nicht ausgewählt haben, ist mit Sicherheit kein Auto), bricht diese Zuordnung zusammen und die richtige zu stellende Frage ist abstrakter.

Ich finde, dass die Leute die Lösung intuitiver finden, wenn Sie sie in 100 Türen ändern, zuerst schließen, dann in 98 Türen. Ähnliches gilt für 50 Türen usw.

Um die ursprüngliche Frage zu beantworten : Unsere Intuition scheitert an der Erzählung. Wenn wir die Geschichte in der gleichen Reihenfolge wie das Drehbuch des Fernsehsenders erzählen, werden wir verwirrt. Es wird viel einfacher, wenn wir im Voraus überlegen, was passieren wird. Der Quiz-Meister wird eine Ziege aufdecken, daher ist es unsere beste Chance, eine Tür mit einer Ziege auszuwählen und dann zu wechseln. Die Handlung legt viel Wert auf den Verlust , der durch unsere Aktion verursacht wird , bei der einen von drei Gelegenheiten, bei denen wir zufällig das Auto auswählen.

Die ursprüngliche Antwort:

Unser Ziel ist es, beide Ziegen zu eliminieren . Wir tun dies, indem wir eine Ziege selbst markieren. Der Quizmaster muss dann zwischen der Enthüllung des Autos und der Enthüllung der anderen Ziege wählen. Es kommt nicht in Frage, das Auto zu enthüllen, daher wird der Quizmaster die eine Ziege enthüllen und eliminieren, die wir nicht kannten. Wir wechseln dann zur verbleibenden Tür und eliminieren damit die Ziege, die wir mit unserer ersten Wahl markiert haben, und holen das Auto.

Diese Strategie scheitert nur, wenn wir nicht eine Ziege markieren, sondern das Auto. Aber das ist unwahrscheinlich: Es gibt zwei Ziegen und nur ein Auto.

Wir haben also eine Chance von 2 zu 3, um das Auto zu gewinnen.

Die Antwort ist nicht "natürlich JA!" Die richtige Antwort lautet: "Ich weiß nicht, können Sie genauer sein?"

Der einzige Grund, warum Sie es für richtig halten, liegt darin, dass Marliyn vos Savant dies sagte. Ihre ursprüngliche Antwort auf die Frage (obwohl die Frage vor ihr weitgehend bekannt war) erschien am 9. September 1990 in der Zeitschrift Parade . Sie schrieb, dass die "richtige" Antwort auf diese Frage war, die Türen zu tauschen, weil das Tauschen der Türen Ihnen eine höhere Wahrscheinlichkeit gab, das Auto zu gewinnen (2/3 statt 1/3). Sie erhielt viele Antworten von Mathematik-Doktoranden und anderen intelligenten Leuten, die sagten, dass sie falsch lag (obwohl viele von ihnen auch falsch waren).

Angenommen, Sie sind in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei Türen. Hinter einer Tür steht ein Auto, hinter den anderen Ziegen. Sie wählen eine Tür, sagen Sie 1, und der Gastgeber, der weiß, was sich hinter den Türen befindet, öffnet eine weitere Tür, sagen Sie 3 , die eine Ziege hat. Er sagt zu dir: "Möchtest du Tür 2 wählen?" Ist es für Sie von Vorteil, die Türen Ihrer Wahl zu wechseln? - Craig F. Whitaker, Columbia, Maryland

Ich habe den wichtigen Teil dieser logischen Frage herausgestellt. Was in dieser Aussage nicht eindeutig ist, ist:

Öffnet Monty Hall immer eine Tür? (Was wäre es zu Ihrem Vorteil, die Türen zu wechseln, wenn er nur eine verlorene Tür öffnete, als Sie eine gewinnende Tür ausgewählt haben? Antwort : Nein)

Öffnet Monty Hall immer eine verlorene Tür? (Die Frage gibt an, dass er weiß , wo das Auto ist, und diese besondere Zeit zeigte er eine Ziege hinter einem. Was würden Sie Ihre Chancen, wenn er zufällig eine Tür geöffnet? Dh die Monty Fall Frage oder was ist, wenn er manchmal Türen zu zeigen , wählt gewinnen .)

Öffnet Monty Hall immer eine Tür, die Sie nicht ausgewählt haben?

Die Grundlagen dieses logischen Puzzles wurden mehrmals wiederholt und oftmals sind sie nicht genau genug spezifiziert, um die "richtige" Antwort von 2/3 zu erhalten.

Eine Ladenbesitzerin sagt, sie hat zwei neue Baby-Beagles, die sie Ihnen zeigen kann, aber sie weiß nicht, ob sie männlich, weiblich oder ein Paar sind. Du sagst ihr, dass du nur einen Mann willst, und sie ruft den Kerl an, der ihnen ein Bad gibt. "Ist mindestens einer ein Mann?" sie fragt ihn. "Ja!" sie informiert dich mit einem lächeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere Mann ist? - Stephen I. Geller, Pasadena, Kalifornien

Hat der Gefährte beide Hunde angesehen, bevor er mit "Ja" geantwortet hat, oder hat er einen zufälligen Hund aufgenommen und festgestellt, dass es sich um einen Rüden handelt, und hat dann mit "Ja" geantwortet.

Sagen Sie, dass eine Frau und ein Mann (die nicht verwandt sind) jeweils zwei Kinder haben. Wir wissen, dass mindestens eines der Kinder der Frau ein Junge ist und dass das älteste Kind des Mannes ein Junge ist. Können Sie erklären, warum die Wahrscheinlichkeit, dass die Frau zwei Jungen hat, nicht der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass der Mann zwei Jungen hat? Mein Algebra-Lehrer besteht darauf, dass die Wahrscheinlichkeit größer ist, dass der Mann zwei Jungen hat, aber ich denke, dass die Chancen gleich sind. Was denkst du?

Woher wissen wir , dass die Frau mindestens einen Jungen hat? Haben wir eines Tages über den Zaun geschaut und einen von ihnen gesehen? ( Antwort: 50%, wie Mann )

Die Frage hat sogar unseren eigenen Jeff Atwood ausgelöst . Er stellte diese Frage :

Nehmen wir an, Sie haben hypothetisch gesehen jemanden getroffen, der Ihnen erzählt hat, dass er zwei Kinder hat, und eines davon ist ein Mädchen. Wie stehen die Chancen, dass diese Person einen Jungen und ein Mädchen hat?

Jeff argumentiert weiter, dass es sich um eine einfache Frage handelte, die in einfacher Sprache gestellt wurde, und schiebt die Einwände einiger beiseite, die besagen, dass die Frage falsch formuliert ist, wenn die Antwort 2/3 lauten soll.

Wichtiger jedoch ist, warum die Frau die Informationen freiwillig zur Verfügung stellte. Wenn sie so sprach wie normale Menschen, wenn einer sagt "einer von ihnen ist ein Mädchen", dann ist der andere unweigerlich ein Junge. Wenn wir davon ausgehen wollen, dass dies eine logische Frage ist, mit der Absicht, uns auszulösen, sollten wir die Frage klarer definieren. Hat die Frau das Geschlecht eines ihrer Kinder freiwillig ausgewählt oder spricht sie über die Gruppe ihrer beiden Kinder?

Es ist klar, dass die Frage schlecht formuliert ist, aber die Leute merken es nicht. Wenn ähnliche Fragen gestellt werden, bei denen die Chancen für einen Wechsel viel größer sind, erkennen die Leute entweder, dass es sich um einen Trick handelt (und stellen das Motiv des Gastgebers in Frage), oder sie erhalten die "richtige" Antwort für einen Wechsel wie in der Frage mit 100 Türen . Dies wird weiter durch die Tatsache gestützt, dass Ärzte, wenn sie nach der Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung einer Frau nach einem positiven Test gefragt werden (sie müssen feststellen, ob sie an der Erkrankung leidet oder ob es sich um ein falsches Positiv handelt), besser in der Lage sind, zu dem zu gelangen richtige Antwort, je nachdem, wie die Frage formuliert ist. Es gibt einen wunderbaren TED-Vortrag , der genau diesen Fall auf halbem Weg behandelt.

Er beschrieb die Wahrscheinlichkeiten, die mit einem Brustkrebstest verbunden sind: 1% der getesteten Frauen haben die Krankheit und der Test ist zu 90 Prozent genau, mit einer 9% falsch positiven Rate. Was sagen Sie mit all diesen Informationen einer Frau, die sich positiv über die Wahrscheinlichkeit der Erkrankung äußert?

Wenn es hilft, ist hier die gleiche Frage anders formuliert:

100 von 10.000 Frauen im Alter von vierzig Jahren, die am Routine-Screening teilnehmen, haben Brustkrebs. 90 von 100 Frauen mit Brustkrebs erhalten eine positive Mammographie. 891 von 9.900 Frauen ohne Brustkrebs erhalten ebenfalls eine positive Mammographie. Wenn 10.000 Frauen in dieser Altersgruppe einem Routine-Screening unterzogen werden, wie viel Prozent der Frauen mit positiven Mammographien haben dann tatsächlich Brustkrebs?

Ich würde etwas ändern, was Graham Cookson gesagt hat. Ich denke, das wirklich Entscheidende, das die Leute übersehen, ist nicht ihre erste Wahl, sondern die Wahl des Gastgebers und die Annahme, dass der Gastgeber darauf geachtet hat, das Auto nicht preiszugeben.

Wenn ich dieses Problem in einer Klasse diskutiere, präsentiere ich es zum Teil als Fallstudie, um Ihre Annahmen zu verdeutlichen. Es ist zu Ihrem Vorteil, zu wechseln, wenn der Wirt darauf achtet, nur eine Ziege freizulegen . Wenn der Host hingegen zufällig zwischen den Türen 2 und 3 pickte und zufällig eine Ziege enthüllte, hat das Wechseln keinen Vorteil.

(Das praktische Fazit ist natürlich, dass Sie ohnehin wechseln sollten, wenn Sie die Strategie des Gastgebers nicht kennen.)

Dies gibt keine allgemeine Regel, aber ich denke, dass ein Grund, warum es ein herausforderndes Rätsel ist, darin besteht, dass unsere Intuition mit bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht sehr gut umgeht. Es gibt viele andere Wahrscheinlichkeitsrätsel, die sich mit dem gleichen Phänomen befassen . Da ich auf meinen Blog verlinke, ist hier ein Beitrag speziell über Monty Hall .

Ich stimme zu, dass die Schüler dieses Problem sehr schwierig finden. Die typische Reaktion ist, dass es eine 50: 50-Chance gibt, das Auto zu bekommen, nachdem man Ihnen eine Ziege gezeigt hat. Warum ist das wichtig? Die Schüler scheinen ihre erste Wahl von der Entscheidung, die sie jetzt treffen sollen, zu trennen, dh sie betrachten diese beiden Handlungen als unabhängig. Ich erinnere sie dann daran, dass sie anfangs doppelt so häufig die falsche Tür gewählt haben, weshalb sie besser dran sind, zu wechseln.

In den letzten Jahren habe ich angefangen, das Spiel in Glas zu spielen, und es hilft den Schülern, das Problem viel besser zu verstehen. Ich benutze drei Toilettenpapierrollen aus Pappe und in zwei davon sind Büroklammern und in der dritten ist ein 5-Pfund-Schein.

Ich glaube, dass es eher eine Frage der Logik als eine Schwierigkeit mit der Wahrscheinlichkeit ist, die die Lösung von Monty Hall überraschend macht. Betrachten Sie die folgende Beschreibung des Problems.

Sie entscheiden zu Hause, bevor Sie zur TV-Show gehen, ob Sie die Tür wechseln oder bei Ihrer ersten Wahl bleiben, was auch immer während der Show passiert. Das heißt, Sie wählen zwischen den Strategien "Bleiben" oder "Wechseln", bevor Sie das Spiel spielen. Mit dieser Wahl der Strategie ist keine Unsicherheit verbunden. Es besteht noch keine Notwendigkeit, Wahrscheinlichkeiten einzuführen.

Lassen Sie uns die Unterschiede zwischen den beiden Strategien verstehen. Auch hier werden wir nicht über Wahrscheinlichkeiten sprechen.

Unter der Strategie "Bleiben" gewinnen Sie genau dann, wenn Ihre erste Wahl die "gute" Tür ist. Auf der anderen Seite gewinnen Sie unter der Strategie "Switch" genau dann, wenn Ihre erste Wahl eine "schlechte" Tür ist. Denken Sie bitte eine Minute lang sorgfältig über diese beiden Fälle nach, insbesondere über den zweiten. Beachten Sie auch hier, dass wir noch nicht über Wahrscheinlichkeiten gesprochen haben. Es ist nur eine Frage der Logik.

Lassen Sie uns nun über Wahrscheinlichkeiten sprechen. Angenommen, Sie haben dem Preis, der sich hinter jeder Tür befindet, ursprünglich eine Wahrscheinlichkeit von zugewiesen , ist klar, dass bei der Strategie "Bleiben" Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit (dies ist die Wahrscheinlichkeit, die "gute" Tür zu wählen). Unter der Strategie "Switch" beträgt Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit jedoch (dies ist die Wahrscheinlichkeit, eine "schlechte" Tür zu wählen). Und deshalb ist Strategie "Switch" besser.$1/3$$1/3$$2/3$

PS Im Jahr 1990 sandte Prof. Larry Denenberg einen Brief an den Moderator der Fernsehsendung Monty Hall und bat um seine Erlaubnis, seinen Namen in der Beschreibung des bekannten Dreitürproblems in einem Buch verwenden zu dürfen.

Hier ist ein Bild von einem Teil von Montys Antwort auf diesen Brief, wo wir lesen können:

"Ich sehe, dass es keinen Unterschied macht, wenn der Spieler Tür A ausgewählt und Tür C gezeigt hat. Warum sollte er dann versuchen, zu Tür B zu wechseln?"

Daher können wir mit Sicherheit schließen, dass Monty Hall (der Mann selbst) das Monty Hall-Problem nicht verstanden hat!

Man muss nicht über bedingte Wahrscheinlichkeit oder Bayes-Theorem Bescheid wissen, um herauszufinden, dass es am besten ist, die Antwort zu wechseln.

Angenommen, Sie wählen zunächst Tür 1. Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Tür 1 gewinnt, 1/3 und die Wahrscheinlichkeit, dass Tür 2 oder 3 gewinnt, 2/3. Wenn Tür 2 nach Wahl des Gastgebers als Verlierer eingestuft wird, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass 2 oder 3 ein Gewinner ist, immer noch 2/3. Da Tür 2 jedoch ein Verlierer ist, muss Tür 3 mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 ein Gewinner sein.

Der Unterricht? Formulieren Sie die Frage neu und suchen Sie nach einer Strategie, anstatt die Situation zu betrachten. Drehen Sie das Ding auf den Kopf, arbeiten Sie rückwärts ...

Menschen sind im Allgemeinen schlecht darin, mit dem Zufall zu arbeiten. Tiere schneiden in der Regel besser ab, wenn sie feststellen, dass entweder A oder B im Durchschnitt eine höhere Auszahlung erzielen . Sie bleiben bei der Wahl mit dem besseren Durchschnitt. (Keine Referenz bereit - Entschuldigung.)

Das erste, was die Leute tun, wenn sie eine 80/20-Verteilung sehen, ist, ihre Auswahl so zu verteilen, dass sie der Auszahlung entspricht: 80% bei der besseren Wahl und 20% bei der anderen. Dies führt zu einer Auszahlung von 68%.

Auch hier gibt es ein gültiges Szenario für die Auswahl einer solchen Strategie: Wenn sich die Gewinnchancen im Laufe der Zeit ändern, gibt es einen guten Grund, einen Test zu senden und die Auswahl mit der geringeren Erfolgschance zu versuchen.

Ein wichtiger Teil der mathematischen Statistik studiert tatsächlich das Verhalten von Prozessen , um zu bestimmen , ob sie sind zufällig oder nicht.

Ich denke, es gibt mehrere Dinge, die vor sich gehen.

Zum einen impliziert das Setup mehr Informationen, als die Lösung berücksichtigt. Dass es eine Spielshow ist und der Moderator uns fragt, ob wir wechseln wollen.

Wenn Sie annehmen, dass der Moderator nicht möchte, dass die Show zusätzliches Geld ausgibt (was angemessen ist), dann würden Sie annehmen, dass er versuchen würde, Sie zu überzeugen, sich zu ändern, wenn Sie die richtige Tür hätten.

Dies ist eine vernünftige Sichtweise auf das Problem, das die Menschen verwirren kann, aber ich denke, das Hauptproblem besteht darin, nicht zu verstehen, wie sich die neue Wahl von der ersten unterscheidet (was im Fall mit 100 Türen klarer ist).

Ich zitiere diesen großartigen Artikel auf lesswrong:

Die möglichen Hypothesen sind Auto in Tür 1, Auto in Tür 2 und Auto in Tür 3; Bevor das Spiel beginnt, gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass eine der drei Türen mit größerer Wahrscheinlichkeit das Auto enthält als die anderen. Daher hat jede dieser Hypothesen eine vorherige Wahrscheinlichkeit von 1/3.

Das Spiel beginnt mit der Auswahl einer Tür. Das selbst ist natürlich kein Beweis dafür, wo sich das Auto befindet - wir gehen davon aus, dass wir keine besonderen Informationen darüber haben, außer dass es sich hinter einer der Türen befindet (das ist der springende Punkt des Spiels!). Sobald wir das getan haben, werden wir die Möglichkeit haben, einen "Test" durchzuführen, um einige "experimentelle Daten" zu erhalten: Der Gastgeber wird seine Aufgabe erfüllen, eine Tür zu öffnen, die garantiert eine Ziege enthält. Wir werden das Ergebnis Host Öffnet Tür 1 durch ein Dreieck, das Ergebnis Host Öffnet Tür 2 durch ein Quadrat und das Ergebnis Host Öffnet Tür 3 durch ein Fünfeck darstellen - und so unseren Hypothesenraum feiner in Möglichkeiten wie "Auto" zerlegen in Tür 1 und Host öffnet Tür 2 "," Auto in Tür 1 und Host öffnet Tür 3 ", etc:

Bevor wir uns für eine Tür entschieden haben, wird der Host wahrscheinlich auch eine der ziegenhaltigen Türen öffnen. Somit hat zu Beginn des Spiels die Wahrscheinlichkeit jeder Hypothese der Form "Auto in Tür X und Host öffnet Tür Y" eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, wie gezeigt. So weit, ist es gut; alles ist noch perfekt in ordnung.

Jetzt wählen wir eine Tür aus; Sagen wir, wir wählen Tür 2. Der Host öffnet dann entweder Tür 1 oder Tür 3, um eine Ziege freizulegen. Nehmen wir an, er öffnet Tür 1; Unser Diagramm sieht nun so aus:

Dies zeigt jedoch, dass das Auto mit gleicher Wahrscheinlichkeit hinter Tür 2 und Tür 3 steht!

Hast du den Fehler verstanden?

Los geht's, so versagt dir deine Intuition.

Überprüfen Sie die richtige Lösung im vollständigen Artikel . Es enthält :

• Erklärung des Bayes-Theorems
• Falscher Ansatz von Monty Hall
• Richtige Anfahrt von Monty Hall
• Weitere Probleme ...

Nach meiner Erfahrung ist es die Tatsache, dass Menschen nicht automatisch von Worten zu Mathematik springen. Normalerweise verstehen es die Leute falsch, wenn ich es zum ersten Mal präsentiere. Dann hole ich jedoch ein Kartenspiel mit 52 Karten heraus und lasse sie eine auswählen. Dann decke ich fünfzig Karten auf und frage sie, ob sie wechseln wollen. Die meisten Leute bekommen es dann. Sie wissen intuitiv, dass sie wahrscheinlich die falsche Karte bekommen haben, wenn es 52 von ihnen sind, und wenn sie sehen, dass fünfzig von ihnen umgedreht sind, ist die Entscheidung ziemlich einfach. Ich denke nicht, dass es so sehr ein Paradoxon ist, sondern eher eine Tendenz, den Verstand bei mathematischen Problemen abzuschalten.