Magisches Urnenproblem

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ADDENDUM: Zunächst einmal danke ich Ihnen allen für Ihre aufschlussreichen Antworten auf dieses Wochenende, das lustige Problem und insbesondere Mark L Stone für seinen ersten Kommentar. Ich vermisse wahrscheinlich den Punkt in einigen Antworten. In diesem Fall ändern Sie sie bitte leicht, damit ich sie sehe und sie gerne annehmen kann. Aber ich denke, das Problem, das mich interessiert, ist nicht so sehr, wie man das Problem löst oder wie einige Antworten unsinnig sind, sondern wie kann es sein, dass trotz der Gleichungen, die ich verwendet habe, um das Problem zu lösen (und mich daran zu erinnern) Wussten Sie nicht, dass die Antwort zu diesem Zeitpunkt 3R / 3B sein würde?) Geben Sie die richtige Antwort auch unter Einbeziehung eines unmöglichen Szenarios (2 rote Paare)?

Das Wall Street Journal hat einen neuen Abschnitt mit mathematischen Fragen . Die heutige Frage war offen für Diskussionen mit Beiträgen von Lesern. In diesem Zusammenhang halte ich es für fair, dies auch hier unter einem allgemein sachkundigeren Publikum zu diskutieren. Wenn diese Argumentation fehlerhaft ist, lassen Sie es mich einfach wissen und ich werde die Frage löschen.

Dein Freund sagt dir: Dies ist eine bemerkenswerte Urne. Es enthält nur rote und schwarze Kugeln. Wenn Sie nach innen greifen und zufällig einen Ball nehmen, besteht die gleiche Chance, dass Sie Rot oder Schwarz ziehen. Sie könnten also denken, wenn Sie stattdessen zwei zufällig nehmen, ist es 50/50, dass Ihre Bälle übereinstimmen. Nun, Sie würden sich irren - aber wenn sie übereinstimmen und Sie dann Ihre andere Hand erreichen und zwei weitere nehmen, sind Ihre Chancen, ein zweites Mal zu passen, 50/50! Wie viele Bälle in der Urne Ihres Freundes (bevor Sie welche herausnehmen)?

Wie eine gute Anzahl von Menschen, die sich noch an die Grundlagen von Kombinationen und Permutationen erinnern, folgte ich dieser Argumentation:

Wir beginnen mit der gleichen Anzahl von redund blackBällen ("gleiche Chance, rot oder schwarz zu zeichnen"), nennen wir diese Zahl . Nach der ersten Runde haben Sie vielleicht bekommen oder ( „aber wenn sie DO Spiel, und dann ...“). Lass uns mit Rot gehen, dh du hast gezeichnet . Sie haben mit der gleichen Anzahl oder roten und schwarzen oder Kugeln in der Urne begonnen, und nach dem Zeichnen des ersten Paares haben Sie mit roten Kugeln in der Urne und schwarzen Kugeln. $n$ two redtwo blacktwo reds $2n$ $2n-2$ $n-2$ $n$

Sie sagen uns, dass die Chance, das Experiment zu wiederholen und ein zweites Paar zu erhalten, bleibt ("... Ihre Chancen, ein zweites Mal zu passen, sind 50/50"). So sollte die Wahrscheinlichkeit , eine der Zeichnung sowie die Wahrscheinlichkeit eines bekommen : $0.5$ $0.5$ second pair of red ballspair of black balls

0.5 = p (2 R | after Red pair) + p (2 B | after Red pair) = \frac{(\binom{n - 2}{2})}{(\binom{2 n - 2}{2})} + \frac{(\binom{n}{2})}{(\binom{2 n - 2}{2})}

$0.5 = p(2R|\text{after Red pair})+p(2B|\text{after Red pair})= \frac{{n-2\choose 2}}{{2n-2\choose2}} + \frac{{n\choose 2}}{{2n-2\choose2}}$

Die Antwort lautet für insgesamt Bälle in der Urne ( rote und schwarze). Dies macht es uns jedoch physisch unmöglich, auf die zweite Runde zurückzugreifen. $n=3$ $6$ $3$ $3$ two red balls

Was vermisse ich?

Mit anderen Worten, wir erhalten das richtige Ergebnis (siehe Kommentare); Wir können jedoch nicht zurückgehen und "überprüfen", ob wir die richtige Antwort erhalten haben, denn wenn Sie zur obigen Gleichung zurückkehren und in die einstecken , erhalten wir: $3$ $n$

$0.5 = = \frac{{1 \choose 2}}{{4\choose 2}} + \frac{{3\choose 2}}{{4\choose 2}}$ , und macht nein Sinn. Es ist wahrscheinlich die Art und Weise, wie uns die Mathematik sagt, dass wir nicht mit nur 3 verfügbaren roten Kugeln zeichnen können . Wenn dies wahr ist, ist es auf wunderbar kreisförmige Weise wirklich cool: Wir haben die richtige Antwort erhalten, einschließlich einer unmöglichen Prämisse in der Gleichung, so dass das Ergebnis uns auffordert, die Gleichung zu ändern, die die Antwort überhaupt erzeugt hat! ${1 \choose 2}$ two pairs of red balls

Wir hätten das gleiche Ergebnis erzielt mit:

$0.5 = p(2B|\text{after Red pair})= \frac{{n\choose 2}}{{2n-2\choose2}}$ obwohl wir zunächst nicht wussten, dass das Szenario des Zeichnens zwei Paare red ballswaren unmöglich.

probability combinatorics

— Antoni Parellada
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"Dies macht es uns jedoch physisch unmöglich, in der zweiten Runde zwei rote Bälle zu ziehen." Na und? Mit einem Rot und 3 Schwarz sind von Möglichkeiten beide schwarz, dh dieselbe Farbe, dh 50/50. Ich denke, die Frage soll so interpretiert werden, dass das 2. Paar zueinander passt, nicht, dass sie zum ersten Paar passen - vielleicht liegt man hier "falsch".

(\binom{3}{2})

${3\choose 2}$

(\binom{4}{2})

${4\choose 2}$

— Mark L. Stone

@ MarkL.Stone Es ist nur rätselhaft, die richtige Antwort (6 Bälle) zu erhalten, selbst wenn ich die Wahrscheinlichkeitsrechnung eines physikalisch unmöglichen Szenarios in die Gleichung aufgenommen habe: Zeichnen eines zweiten Paares roter Bälle nach dem Zeichnen eines ersten Paares von rote Kugeln.

— Antoni Parellada

Sie haben den Fall verpasst, als die erste Messe ein schwarzer Ball ist. Die linke Seite sollte also einen Faktor von anstelle von

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$

— Rightskewed

Verwenden Sie die 6 Kugeln (3 rote und 3 schwarze), wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zwei gleiche Farben zu zeichnen (dh den ersten Schritt in der Frage). Wörter + Mathe ist hilfreich. Danke.

Wir wissen nicht, dass das Ergebnis 6 ist, bis wir es bekommen. Aber wir können es mit einer Formel erhalten, die eine physikalische Unmöglichkeit beinhaltet, wie Sie vorschlagen. das macht es für mich interessant.

— Antoni Parellada

2

Was vermisse ich? Wie kann es sein, dass die Gleichungen, mit denen ich das Problem gelöst habe (und ich erinnere mich, dass ich nicht wusste, dass die Antwort zu diesem Zeitpunkt 3R / 3B sein würde), auch unter Einbeziehung eines unmöglichen Szenarios die richtige Antwort liefern ( 2 rote Paare)?

0.5 = p (2 R | a f t e r R e d p a i r) + p (2 B | a f t e r R e d p a i r) = \frac{(\binom{n - 2}{2})}{(\binom{2 n - 2}{2})} + \frac{(\binom{n}{2})}{(\binom{2 n - 2}{2})}

$0.5 = p\,(2\,R\,|after\,Red\,pair)+p\,(2\,B\,|after\,Red\,pair)= \frac{{n-2\choose 2}}{{2n-2\choose2}} + \frac{{n\choose 2}}{{2n-2\choose2}}$

gilt nur für da für ungleich Null ist , sodass die Lösung für diese Gleichung durch diese Einschränkung begrenzt ist: , was impliziert, dass es keine Lösung gibt. $n-2 \geq 2$ $n\choose r$ $n \geq r$ $n=3$ $n \geq4$

Lösung

P1, P2 repräsentieren die beiden gezeichneten Paare.

Szenario 1: {P1: RR, P2: BB}

Szenario 2: {P1: RR, P2: RR}

Szenario 3: {P1: BB, P2: RR}

Szenario 4: {P1: BB, P2: BB}

0.5 = P (P 2 = B B | P 1 = R R) + P (P 2 = R R | P 1 = R R) + P (P 2 = R R | P 1 = B B) + P (P 2 = B B | P 1 = B B)

$0.5 = P(P2=BB|P1=RR) + P(P2=RR|P1=RR) + P(P2=RR|P1=BB) + P(P2=BB|P1=BB)$

⟹

$\implies$

0.5 = 2 * (P (P 2 = B B | P 1 = R R) + P (P 2 = R R | P 1 = R R))

$0.5 = 2*\big(P(P2=BB|P1=RR) + P(P2=RR|P1=RR) \big)$

⟹

$\implies$

\frac{1}{4} = \frac{(\binom{n}{2})}{(\binom{2 n - 2}{2})} + \frac{(\binom{n - 2}{2})}{(\binom{2 n - 2}{2})}

$\frac{1}{4} = \frac{n\choose 2}{{2n-2}\choose 2} + \frac{{n-2}\choose 2}{{2n-2}\choose 2}$

⟹

$\implies$

2 n^{2} - 7 n + 9 = 0

$2n^2-7n+9 =0$

Ich bekomme keine Lösung für $n$

— rechtsgesägt
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Sie müssen die Sonderfälle überprüfen, in denen . ZB ist eine triviale Lösung. Ihr Argument zeigt, dass es keine anderen Lösungen gibt.

n - 2 < 2

$n-2<2$

n = 3

$n=3$

— Gumeo

Ich meinte n = 3, wie bei 3 roten und 3 schwarzen Kugeln.

— Gumeo

1

Aber, ist keine Lösung für die korrigierte Version der Gleichung. OPs Gleichung ignoriert Szenario

n = 3

$n=3$

— 3.4

Ich denke, Sie würden dieses Problem folgendermaßen lösen: 1) Ableiten der von OP abgeleiteten Lösung 2) Stellen Sie sicher, dass dies nicht in allen Fällen funktioniert, z. B. und . Versuchen Sie es für die trivialen Fälle und sehen Sie, dass Sie eine Lösung erhalten. Ihr Argument dient dazu, andere Lösungen auszuschließen. Ich bin mir nicht sicher, ob (und wie) Sie eine allgemeine Lösung erstellen würden, die alle Fälle abdeckt, indem Sie Kombinationen in Ihrem Argument verwenden, obwohl dies durchaus möglich sein könnte.

n = 2

$n=2$

n = 3

$n=3$

— Gumeo

1

Sie vermissen, dass für n <4 dies gilt: gilt nicht.

0.5 = p (2 R | a f t e r R e d p a i r) + p (2 B | a f t e r R e d p a i r) = \frac{(\binom{n - 2}{2})}{(\binom{2 n - 2}{2})} + \frac{(\binom{n}{2})}{(\binom{2 n - 2}{2})}

$0.5 = p\,(2\,R\,|after\,Red\,pair)+p\,(2\,B\,|after\,Red\,pair)= \frac{{n-2\choose 2}}{{2n-2\choose2}} + \frac{{n\choose 2}}{{2n-2\choose2}}$

Erstens macht das Problem für keinen Sinn, da Sie nicht 2 Bälle und dann 2 weitere Bälle nehmen können. $n=1$

Für oder ist anstelle von , also sollte deine Formel sein $n=2$ $n=3$ $p\,(2\,R\,|after\,Red\,pair)=0$ $\frac{{n-2\choose 2}}{{2n-2\choose2}}$

0.5 = p (2 R | a f t e r R e d p a i r) + p (2 B | a f t e r R e d p a i r) = \frac{(\binom{n}{2})}{(\binom{2 n - 2}{2})}

$0.5 = p\,(2\,R\,|after\,Red\,pair)+p\,(2\,B\,|after\,Red\,pair)=\frac{{n\choose 2}}{{2n-2\choose2}}$

das gilt für n = 3, aber nicht für n = 2.

— user31264
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1

Dies mag nicht formal sein, aber ich dachte mir: Auflösen nach , QED .

\begin{aligned} \frac{(n - 2) (n - 3)}{(2 n - 2) (2 n - 3)} + \frac{(n) (n - 1)}{(2 n - 2) (2 n - 3)} & = .50 \\ \frac{(n - 2) (n - 3) + (n) (n - 1)}{(2 n - 2) (2 n - 3)} & = .50 \end{aligned}

$\begin{align} \frac{(n-2)(n-3)}{(2n-2)(2n-3)} + \frac{(n)(n-1)}{(2n-2)(2n-3)} &= .50 \\[10pt] \frac{(n-2)(n-3)+(n)(n-1)}{(2n-2)(2n-3)} &= .50 \end{align}$

n

$n$

n = 3

$n=3$

Es beginnt also mit 3 von jeder Farbe, dh insgesamt 6 Bällen.

— Darkmatrix
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Das OP könnte mehr von Ihrer Antwort profitieren, wenn Sie die Schritte erklären

— Antoine

Ich glaube, das ist die Motivation: Angenommen, die ersten 2 Bälle sind rot. Die Wahrscheinlichkeit, dass die nächsten beiden rot sind, ist der Ausdruck links vom + -Zeichen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die nächsten beiden schwarz sind, ist der Ausdruck rechts vom + -Zeichen.

— mbmast

-1

Sei die Anzahl der Bälle. Dann lösen Sie: $n$

[\frac{\frac{n}{2}}{n - 2}] [\frac{\frac{n}{2} - 1}{n - 3}] = \frac{1}{2}

$\left[\frac{\frac n 2 }{n-2} \right] \left[\frac{\frac n 2 - 1}{n-3} \right] = \frac 1 2$

— Peter
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