Der Nachweis, dass eine Sequenz abnimmt (unterstützt durch das Zeichnen einer großen Anzahl von Punkten)

Viele der Fragen, die ich im letzten Monat auf SE gestellt habe, hatten das Ziel, mir bei der Lösung dieses speziellen Problems zu helfen. Die Fragen wurden alle beantwortet, aber ich kann immer noch keine Lösung finden. Also dachte ich mir, ich sollte nur das Problem fragen, das ich direkt lösen möchte.

Sei , wobei , , (ganze Zahl), und jedes ist ein cdf über . $X_n \sim F_n$ $F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$ $F_0 = x$ $c\geq 2$ $F_n$ $(0,1)$

Ich möchte beweisen, dass für alle (oder sogar für ein bestimmtes ) mit abnimmt ! Ich kann zeigen, dass bei der eindeutigen Lösung zu zu einer Dirac-Masse konvergiert. Für ist . Wenn Sie sich ein Diagramm von cdfs ansehen, um 's für dasselbe erhöhen, kreuzen sich alle cdfs bei . Der Wert von nimmt bei Werten von kleiner als und bei Werten von größer als $\mathbb{E}X_n$ $n$ $c$ $c$ $F_n$ $x_c = (1-(1-x)^c)^c)$ $c=2$ $x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$ $n$ $c$ $x_n$ $F(x)$ $x$ $x_n$ $x$ $x_n$ (wenn zunimmt) Konvergenz zu einer vertikalen Linie bei . $n$ $x_n$

Unten ist ein Diagramm von für bis für bis . Es ist natürlich eine diskrete Handlung, aber ich habe die Linien zur leichteren Anzeige zusammengefügt. Um dieses Diagramm zu generieren, habe ich NIntegrate in Mathematica verwendet, obwohl ich es für , da Mathematica aus irgendeinem Grund keine Antworten auf hohe Werte von für die ursprüngliche Funktion generieren konnte . Die beiden sollten gemäß dem Satz von Young äquivalent sein: . In meinem Fall ist , . $\mathbb{E}X_n$ $n = 1$ $40$ $c = 2$ $7$ $1-F^{-1}_n$ $n$ $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ $F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$ $F^{-1}_n = x$

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Wie Sie sehen können, bewegt sich der sehr schnell auf eine Minute Entfernung von seinem festen Punkt . Wenn zunimmt, nimmt der Festpunkt ab (wird schließlich auf 0 gehen). $EX_n$ $x_c$ $c$

Es scheint also wahr zu sein, dass für alle mit abnimmt . Aber ich kann es nicht beweisen. Kann mir jemand helfen? (Auch hier wäre ich mit nur einem einzigen einigermaßen zufrieden. ) Und wenn Sie dies nicht können, aber Sie wissen, warum dieses spezielle Problem möglicherweise unlösbar ist, teilen Sie diese Einsicht bitte auch mit. $EX_n$ $n$ $c$ $c$

— OctaviaQ
quelle

Haben Sie darüber nachgedacht, ? Ein induktiver Beweis oder ein Widerspruch kann leicht zugänglich sein.

Z n = E X_{n} - E X_{n - 1}

$Zn = EX_n - EX_{n-1}$

— Iterator

@Iterator: Ich habe es versucht (viel), war aber nicht erfolgreich.

— OctaviaQ

Ja. +1 und löschte meinen vorherigen Kommentar.

— Finnw

@Jand: Ich muss leider meinen Beweisanspruch für den Moment zurückziehen. Ich habe ein Loch gefunden, das ich noch nicht flicken kann. Entschuldigung. Ich hätte vor dem Posten etwas vorsichtiger sein sollen. Ich habe es mehrmals überprüft, aber das Problem erst gefunden, als ich es das letzte Mal durchgesehen habe.

— Kardinal

@Jand: Sie haben eine sehr ähnliche (aber etwas anders) Frage auf math.SE . Können Sie klären, ob Sie tatsächlich an beiden oder nur an einem von beiden interessiert sind und warum?

— Kardinal

Dies wurde auf MO von Pietro Majer hier beantwortet .

— OctaviaQ
quelle