Verteilung des Exponentials einer exponentiellen Zufallsvariablen

Sei eine reelle Zufallsvariable mit Exponentialverteilung. Sei eine komplexe Zahl. Wie ist die Verteilung von ? Kann Y in Form einer anderen bekannten Distribution geschrieben werden? $X$ $a$ $Y = e^{aX}$

HINWEIS: Basierend auf der Antwort von Deep North (unten) stelle ich fest, dass die Lösung des obigen Problems der Lösung dieses Problems entspricht:

$Y = e^{aX} = e^{(a_r + i a_i) X} = e^{a_rX} \cos(a_i X) + i e^{a_rX} \sin(a_i X)$ . Die Antwort kann also auch ein Verteilungspaar sein, wenn es nicht möglich ist, sie als einzelne Antwort in die komplexe Ebene zu schreiben.

probability random-variable exponential

— Blau
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Ist das eine Frage aus einem Kurs oder Lehrbuch? Wenn ja, fügen Sie bitte das [self-study]Tag hinzu und lesen Sie das Wiki .

— Gung - Reinstate Monica

Nein ist es nicht. Diese Frage ergab sich aus meiner Forschung. Grundsätzlich kann ich X auf einem Computer generieren, aber ich versuche, meine Methode zu beschleunigen, indem ich Y direkt generiere, aber ich muss wissen, was Y ist, damit ich das tun kann. Vielen Dank für Ihren Kommentar.

— Blau

Wie kann die Generierung der Distribution beschleunigt werden? Ist der Standard exponentiell oder exponentiell mit dem Ratenparameter ?

X

$X$

λ

$\lambda$

— Glen_b -State Monica

Gute Frage. Ich habe noch keine Antwort auf Ihre Frage. Weil ich die Verteilung nicht kenne. Aber ich kann zwei Argumente nennen: i) Wenn die Antwort einfach genug ist, kann ich sie sogar theoretisch machen, und ii) wenn nicht, kann ich die Berechnung des Exponentials von einer Million Zufallszahlen der Art X vermeiden, wenn ich die Y-Verteilung kenne. In diesem Fall berechne ich von Anfang an eine Million Zufallszahlen von Y und vermeide das Exponential. Im Prinzip sollte es schneller sein (aber ich kann mich irren).

— Blau

Entschuldigung, ich habe Ihre zweite Frage nicht beantwortet. Es ist exponentiell mit dem Ratenparameter , wie hier zu sehen ist: en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution

λ

$\lambda$

— Blue

\begin{aligned} F. (y) & = P. (Y. < y) \\ = P. (e^{ein X.} < y) \\ = P. (ein X. < \ln y) \\ = P. (X. < \frac{\ln y}{ein}) \\ = \int_{0}^{\frac{\ln y}{ein}} λ e^{- - λ y} d y \\ = {- - e^{- - λ y} |}_{0}^{\frac{\ln y}{ein}} \\ = 1 - - y^{- - λ /. ein} \end{aligned}

$\begin{align} F(y) &= P(Y<y) \\ &= P(e^{aX}<y) \\ &= P(aX<\ln y) \\ &= P(X<\frac{\ln y}{a}) \\ &=\int_0^{\frac{\ln y}{a}}\lambda e^{-\lambda y}dy \\ &= \left.-e^{-\lambda y}\right\vert_{0}^{\frac{\ln y}{a}}\\ &=1-y^{-\lambda/a} \end{align}$

Wir nehmen Derivate beider Seiten:

f (y) = \frac{λ}{ein} y^{- - λ /. ein - - 1}

$f(y)=\frac{\lambda}{a}y^{-\lambda/a -1}$

Eine Beta-Verteilung, wenn mit ? $0<y<1$ $\beta=1$

— Tiefer Norden
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Vielen Dank. Ich habe nur eine einfache Frage. Berücksichtigt dies, dass eine komplexe Zahl ist? Ich frage dies, weil das weniger oder gleiche Vorzeichen in der komplexen Domäne ein bisschen triky erscheint. Was denkst du? :)

a

$a$

— Blau

Dies ist eine schwierige Frage für mich. Ich weiß nicht, ob eine komplexe Zahl sein kann oder nicht. Ich habe komplexe Analysen gelernt, kann diese aber noch nicht auf Statistiken anwenden.

a

$a$

— Deep North

Oh ok. Aber vielen Dank, denn Ihre Antwort ist richtig für den Fall, dass a real ist. Es ist nützlich (ich habe versucht, dir +1 zu geben, aber ich glaube, ich habe nicht genug Ruf, dies ist meine erste Frage). Das Problem ist, dass in meinem Fall a immer komplex ist. Ich mag diese Antwort, aber ich weiß nicht, wie ich sie auch erweitern soll :)

— Blue

@Blue Einige Dinge zu beachten (FYI, ich kenne absolut keine komplexe Analyse): 1) in ? 2) Können Sie durch eine komplexe Zahl "teilen", die einen Imaginärteil ungleich Null hat?

e^{a X} < y ⟹ a X < \ln (y)

$e^{aX} < y \implies aX < \ln(y)$

C

$\mathbb{C}$

a \in C

$a \in \mathbb{C}$

— Klarinettist

@ Klarinettist - 1) Das Problem ist, dass in der komplexen Ebene das Zeichen <keinen Sinn ergibt. Sie können sich eine zweidimensionale Ebene vorstellen (die komplexe Ebene ist eine zweidimensionale Ebene mit einer gewissen Struktur) und sich fragen, ob ein Punkt P1 größer oder kleiner als ein anderer P2 ist. Sie sehen, macht keinen Sinn. Es ist jedoch sinnvoll zu fragen, ob | P1 | ist größer oder kleiner als | P2 |. 2) Ja, Sie können, die komplexen Zahlen bilden eine Divisionsalgebra. Also hat jede komplexe Zahl (außer ) eine Umkehrung und so ist dasselbe wie

0 + i 0

$0 + i 0$

a / b

$a/b$

a * b^{- 1}

$a * b^{-1}$

— Blue