Warum heißt eine negative binomische Zufallsvariable so?

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Ich verstehe nicht, warum die Zufallsvariable "negatives Binom" diesen Namen hat. Was ist daran negativ? Was ist daran binomisch? Was ist daran negativ-binomisch?

— Hatschepsut
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Siehe auch die Kommentare unter dieser allgemeineren Frage - die wirklich eine richtige Antwort verdient, mea culpa .

— Glen_b

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Es ist ein Hinweis auf die Tatsache, dass ein bestimmter Binomialkoeffizient, der in der Formel für diese Verteilung erscheint, einfacher mit negativen Zahlen geschrieben werden kann.

Wenn Sie eine Reihe von Experimenten mit der Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ , ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie nach genau Versuchen $r$ Fehler sehen, gleich $k$

${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$ .

Dies kann auch als geschrieben werden

$(−1)^k$ ${−r}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

und das Wort "negativ" bezieht sich auf das in diesem Binomialkoeffizienten. Beobachten Sie, wie diese Formel mit Ausnahme dieses Vorzeichenkoeffizienten genau wie die Formel für die gewöhnliche Binomialverteilung aussieht. $−r$

Ein anderer Name für die negative Binomialverteilung ist Pascals Verteilung, also gibt es auch diese.

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Detailliertere Antwort laut Wikipedia:

Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion der negativen Binomialverteilung ist

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Hier ist die Menge in Klammern der Binomialkoeffizient und ist gleich

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$ .

Diese Größe kann alternativ wie folgt geschrieben werden, wobei der Name „negatives Binom“ erklärt wird:

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$ .

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Ich verstehe Ihre Aussage nicht "Wenn Sie eine Reihe von Experimenten mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p durchführen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie nach genau k Versuchen r Fehler sehen, ...". Mir scheint, die Formel sollte lauten: . Woher hast du die Formel, die du aufgelistet hast? Ich vermute, Sie beschreiben den Zufallsprozess nicht ganz richtig. Meinen Sie die Wahrscheinlichkeit, nach Durchführung von Versuchen genau Fehler zu bekommen ? Wenn ja, sollte das nicht ? Was ist hier los? Können Sie das Ereignis, auf das Sie sich beziehen, genauer definieren?

(\binom{k}{r}) p^{k - r} (1 - p)^{r}

${k \choose r} p^{k-r} (1-p)^r$

r

$r$

k + r - 1

$k+r-1$

p^{k}

$p^k$

p^{k - 1}

$p^{k-1}$

— DW

@ DW Es war eine unglückliche Formulierung. Gemeint ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass Fehler auftreten, wenn Versuche durchgeführt wurden, sondern die Wahrscheinlichkeit, dass Versuche erforderlich sind, um Fehler zu beobachten .

r

$r$

k

$k$

k

$k$

r

$r$

— Amöbe sagt Reinstate Monica

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Einwohner von StatsExchange, Erstens kopiert dieser Autor die Wikipedia-Formel, damit alles in Ordnung ist. Die Beschreibung dieses Autors war falsch. Er hätte die Wahrscheinlichkeit aufschreiben sollen, nach k + r-Trails r-Fehler zu bekommen.
Beachten Sie, dass es in den ersten k + r-1-Versuchen genau r-1-Fehler und k-Erfolge gibt. Daher enthält die Formel korrekterweise (k + r-1 Cr-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Dann muss per Definition der letzte Versuch, nämlich der k + r-te Versuch, der r-te Misserfolg sein. Dieses Ereignis ist unabhängig, also multiplizieren wir einfach die Wahrscheinlichkeit 1-p, um die angegebene Wahrscheinlichkeit zu finden.

— Shawn Berry
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— Ertxiem