Warum ist Pearsons ρ nur ein erschöpfendes Assoziationsmaß, wenn die gemeinsame Verteilung multivariat normal ist?

Diese Behauptung wurde in der Antwort auf diese Frage angesprochen . Ich denke, die Warum-Frage ist so unterschiedlich, dass sie einen neuen Thread rechtfertigt. Googeln "erschöpfendes Maß an Assoziation" brachte keine Treffer, und ich bin mir nicht sicher, was dieser Ausdruck bedeutet.

Es ist möglicherweise am besten, "Assoziationsmaß" in einer multivariaten Verteilung so zu verstehen, dass es aus allen Eigenschaften besteht, die gleich bleiben, wenn die Werte willkürlich neu skaliert und neu zentriert werden. Dadurch können die Mittelwerte und Abweichungen auf theoretisch zulässige Werte geändert werden (Abweichungen müssen positiv sein; Mittelwerte können beliebig sein).

Die Korrelationskoeffizienten ("Pearson's ") bestimmen dann vollständig eine multivariate Normalverteilung. Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, sich eine beliebige Formeldefinition anzusehen, z. B. Formeln für die Dichtefunktion oder die charakteristische Funktion. Sie betreffen nur Mittelwerte, Varianzen und Kovarianzen - aber Kovarianzen und Korrelationen können voneinander abgeleitet werden, wenn Sie die Varianzen kennen.$\rho$

Die multivariate Normal-Familie ist nicht die einzige Distributionsfamilie, die diese Eigenschaft genießt. Zum Beispiel hat jede multivariate t-Verteilung (für Freiheitsgrade über ) eine genau definierte Korrelationsmatrix und wird auch durch ihre ersten beiden Momente vollständig bestimmt.$2$

Varianten können auf eine Weise zugeordnet werden, für die die Pearson-Korrelation völlig blind ist.

Im multivariaten Normalfall ist die Pearson-Korrelation "erschöpfend" in dem Sinne, dass die einzig mögliche Assoziation durch indiziert wird . Bei anderen Verteilungen (auch bei solchen mit normalen Rändern) kann es jedoch zu Zuordnungen ohne Korrelation kommen. Hier sind ein paar Darstellungen von 3 normalen Zufallsvariablen (x, y und x, z); Sie sind in hohem Maße assoziiert (wenn Sie mir den Wert der -Variate sagen, sage ich Ihnen die beiden anderen, und wenn Sie mir das sagen, kann ich Ihnen das sagen ), aber sie sind alle unkorreliert.$\rho$$x$$y$$z$

Hier ist ein weiteres Beispiel für assoziierte, aber nicht korrelierte Variablen:

(Der zugrunde liegende Punkt bezieht sich auf Verteilungen, obwohl ich ihn hier mit Daten illustriere.)

Selbst wenn die Variablen korreliert sind, sagt Ihnen die Pearson-Korrelation im Allgemeinen nicht, wie - Sie können sehr unterschiedliche Formen der Assoziation erhalten, die dieselbe Pearson-Korrelation haben (aber wenn die Variablen multivariat normal sind, wie ich Ihnen sage Über die Korrelation kann man genau sagen, wie standardisierte Variablen zusammenhängen).

Die Pearson-Korrelation "erschöpft" also nicht die Art und Weise, in der Variationen assoziiert werden - sie können assoziiert, aber nicht korreliert sein, oder sie können korreliert, aber auf ganz unterschiedliche Weise assoziiert sein. [Die Vielfalt der Möglichkeiten, wie Assoziationen auftreten können, die nicht vollständig durch Korrelation erfasst werden, ist recht groß. Wenn jedoch eine davon auftritt, können Sie keine multivariaten Normalen haben. Beachten Sie jedoch, dass nichts in meiner Diskussion impliziert , dass dies (das Wissen die mögliche Assoziation definiert) charakterisiert die multivariate normal, auch wenn der Titel Zitat scheint es vorzuschlagen.]$\rho$

(Eine gebräuchliche Methode zur Behandlung multivariater Assoziationen sind Copulas. Vor Ort gibt es zahlreiche Fragen, die sich auf Copulas beziehen. Einige davon sind möglicherweise hilfreich.)