Wie viele Distributionen enthält der GLM?

Ich habe mehrere Stellen in Lehrbüchern identifiziert, an denen das GLM mit 5 Verteilungen beschrieben wird (nämlich Gamma, Gauß, Binomial, Inverses Gauß und Poisson). Dies zeigt sich auch in der Familienfunktion in R.

Gelegentlich stoße ich auf Verweise auf das GLM, in denen zusätzliche Distributionen enthalten sind ( Beispiel ). Kann jemand erklären, warum diese 5 etwas Besonderes sind oder immer im GLM sind, aber manchmal andere?

Nach dem, was ich bisher gelernt habe, passen die GLM-Verteilungen in der Exponentialfamilie alle in die Form: wobeider Dispersionsparameter undder kanonische Parameter ist.

f (y; θ, ϕ) = \exp {\frac{y θ - b (θ)}{ϕ} + c (y, ϕ)}

$f(y;\theta,\phi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{\phi}+c(y,\phi)\right\}$

ϕ

$\phi$

θ

$\theta$

Kann keine Verteilung so transformiert werden, dass sie in das GLM passt?

r probability distributions generalized-linear-model

— timothy.s.lau
quelle

Es ist klar, dass eine gleichmäßige Verteilung nicht zur exponentiellen Familie gehört.

— Zhanxiong

Gute Frage. ZB was ist mit dem lognormalen?

— Michael M

@Zhanxiong, ist Uniform nicht ein Sonderfall der Beta-Verteilung, und die Beta-Verteilung gehört zur exponentiellen Familie?

— shf8888

@ shf8888 AFAIK Es ist nur eine Exponentialfamilienverteilung im Grenzbereich, wenn sie zur Gammaverteilung konvergiert.

— Shadowtalker

@ Zhanxiong, danke für die Klarstellung! Entschuldigung, Sie haben Recht, mit unbekannten Grenzen ist keine exponentielle Familienverteilung.

— shf8888

Wie Sie angeben, besteht die Qualifikation für die Verwendung einer Verteilung in einem GLM darin, dass sie aus der Exponentialfamilie stammt (Hinweis: Dies ist nicht der dasselbe wie die Exponentialverteilung! Obwohl die Exponentialverteilung als Gammaverteilung selbst Teil der ist exponentielle Familie). Die fünf von Ihnen aufgelisteten Distributionen gehören alle zu dieser Familie, und was noch wichtiger ist, sie sind SEHR gebräuchliche Distributionen, daher werden sie als Beispiele und Erklärungen verwendet.

Wie Zhanxiong bemerkt, ist die gleichmäßige Verteilung (mit unbekannten Grenzen) ein klassisches Beispiel für eine nicht exponentielle Familienverteilung. shf8888 verwechselt die allgemeine Gleichverteilung in jedem Intervall mit einer Uniform (0, 1). Die Uniform (0,1) -Verteilung ist ein Sonderfall der Beta-Verteilung, die es sich um eine exponentielle Familie handelt. Andere nicht exponentielle Familienverteilungen sind Mischungsmodelle und die t-Verteilung.

Sie haben die Definition der Exponentialfamilie korrekt und der kanonische Parameter ist für die Verwendung von GLM sehr wichtig. Trotzdem fand ich es immer etwas einfacher, die exponentielle Familie zu verstehen, indem ich sie schrieb als:

f (x; θ) = a (θ) g (x) \exp [b (θ) R (x)]

$f(x; \theta) = a(\theta)g(x)\exp\left[b(\theta)R(x)\right]$

$\boldsymbol{\theta}$ $\theta$ $\theta$ $x$ $x$ $\theta$ ; und das gleiche für den potenzierten Teil. Es kann schwierig sein zu sehen, wie z. B. die Binomialverteilung auf diese Weise geschrieben werden kann; aber mit etwas algebraischem Jonglieren wird es irgendwann klar.

$\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$

— Henry
quelle

Die Beta-Verteilung mit beiden unbekannten Parametern ist immer noch eine Exponentialfamilie (aber eine Exponentialfamilie mit 2 Parametern). Was lässt dich denken, dass es nicht so ist? www2.stat.duke.edu/courses/Spring11/sta114/lec/… oder wikipedia

— DavidR

Vielen Dank für den Hinweis, ich habe meinen Kommentar geändert ... Sie haben Recht! Ich weiß wirklich nicht, was ich meinte

— Henry