Der schnellste Weg, um das Bayes-Schätzerproblem zu lösen

Das folgende Problem stammt aus einer alten Doktorandenprüfung in unserer Abteilung. Meine eigene Lösung unten ist zeitaufwändig und möglicherweise falsch. Es hängt auch davon ab, dass eine weniger verbreitete Verteilung erkannt wird. Ich frage mich also: Gibt es einen schnelleren Weg, um dieses Problem zu lösen, und wie wird das gemacht? Ich vermute, dass es anwendbare Theoreme über Bayes-Schätzer gibt, die ich nicht kenne oder vergessen habe.

Problem

Gegeben $\theta >0$ , Lassen $Y_1,\dots, Y_n$ werden iid aus der Verteilung der Dichte

f (y ∣ θ) = I_{y > 0} c \sqrt{θ} \exp {- θ y^{2} / 2},

$f(y\mid \theta ) = I_{y>0}c\sqrt{\theta}\exp\{-\theta y^2 / 2\},$ wo

c = (2 π)^{- 1 / 2}

$c=(2\pi)^{-1/2}$ . Angenommen, die Verlustfunktion zum Schätzen

f (0 ∣ θ) = c \sqrt{θ}

$f(0\mid \theta) = c\sqrt{\theta}$ ist gegeben durch

L (δ, c \sqrt{θ}) := (δ - c \sqrt{θ})^{2} / (c \sqrt{θ})^{2}

$L(\delta,c\sqrt{\theta}):=(\delta-c\sqrt{\theta})^2/(c\sqrt{\theta})^2$ und der Prior auf

θ

$\theta$ ist die Gammaverteilung mit Parametern

α > 1, β > 0

$\alpha>1,\beta>0$ .

Meine Lösung

Lassen $\gamma = f(0\mid\theta)$ . Dann

f (y ∣ γ) = γ^{n} \exp {- γ^{2} \sum_{i} y_{i}^{2} / (2 c^{2})}

$f(\mathbf{y}\mid\gamma)= \gamma^n \exp\{-\gamma^2 \sum_i y_i^2/(2c^2)\}$ und durch eine Dichtetransformation mit Jacobian

2 γ

$2\gamma$ wir bekommen

p (γ) \propto γ^{2 α - 1} \exp {- β γ^{2} / c^{2}},

$p(\gamma)\propto \gamma^{2\alpha - 1}\exp\{ -\beta \gamma^2 / c^2\},$

damit

p (γ ∣ y) \propto γ^{n + 2 α - 1} \exp {- γ^{2} [β / c^{2} + y^{'} y / (2 c^{2})]} .

$p(\gamma\mid \mathbf{y}) \propto \gamma^{n+2\alpha-1}\exp{\{-\gamma^2[\beta/c^2 + \mathbf{y'y}/(2c^2)] \}}.$ Jetzt minimieren

E L (δ, γ)

$\mathbb E L(\delta, \gamma)$ unter diesem hinteren wrt

δ

$\delta$ ist gleichbedeutend mit Minimieren

E (δ - γ)^{2}

$\mathbb E (\delta-\gamma)^2$ (dh ergibt die gleiche Zielfunktion) unter dem Seitenzahn

p (γ ∣ y) \propto γ^{n + 2 α - 3} \exp {- γ^{2} [β / c^{2} + y^{'} y / (2 c^{2})]} .

$p(\gamma\mid \mathbf{y}) \propto \gamma^{n+2\alpha-3}\exp{\{-\gamma^2[\beta/c^2 + \mathbf{y'y}/(2c^2)] \}}.$

Wir kennen diese Einstellung $\delta = \mathbb E (\gamma \mid \mathbf y)$ löst ein solches Problem. Wir erkennen auch den neuesten Posterior als verallgemeinertes Gamma mit Parametern (gemäß der Wikipedia- Notation). $d=n+2\alpha - 2, p = 2, 1/a = \sqrt{\beta/c^2 + \mathbf{y'y}/(2c^2)}$ . Der Mittelwert des verallgemeinerten Gammas ist $a\Gamma((d+1)/p)/\Gamma(d/p)$ und wir sind fertig.

— ekvall
quelle

Entschuldigung, ich kann nicht anders, als die Frage zu lösen, aber aus Interesse, für welche Art von Doktorandenprogramm war das? War es in Mathematik oder Statistik? Ich frage nur als Student.

— Chris C

@ ChrisC ist aus einem Statistikprogramm. Denken Sie nicht, dass man mit diesem Missbrauch der Notation in einem Mathematikprogramm davonkommt, aber ich bin mir nicht sicher :).

— Ekvall

Ha, danke! Ich muss definitiv etwas auffrischen. Hoffe du findest eine Antwort!

— Chris C

Schneller gefunden:

Wir wollen minimieren

r (δ) : = E. {(\frac{c \sqrt{θ} - - δ}{c \sqrt{θ}})}^{2} = E. (\frac{c^{2} θ - - 2 c \sqrt{θ} δ + δ^{2}}{c^{2} θ})

$r(\delta):=E\left(\frac{c\sqrt \theta - \delta}{c\sqrt \theta}\right)^2=E\left(\frac{c^2\theta - 2c\sqrt \theta \delta+\delta ^2}{c^2 \theta}\right)$ unter der posterioren Verteilung. Für das No-Data-Problem bekommen wir

r (δ) = 1 - - δ 2 c^{- - 1} E. θ^{- - 1 /. 2} + δ^{2} c^{- - 2} E. θ^{- - 1},

$r(\delta) = 1 - \delta 2c^{-1} E\theta^{-1/2} + \delta^2 c^{-2} E\theta^{-1},$

was bei minimiert wird

δ = c \frac{E. θ^{- - 1 /. 2}}{E. θ^{- - 1}} .

$\delta = c\frac{E\theta^{-1/2}}{E \theta^{-1}}.$

Für eine gammaverteilte Zufallsvariable $X\sim Gamma(a,b)$ Wir haben für Parameterwerte, bei denen das Integral existiert:

E. {X.}^{- - c} = \frac{b^{ein}}{Γ (ein)} \int x^{ein - - 1 - - c} e^{- - b x} = \frac{b^{ein} Γ (ein - - c)}{b^{ein - - c} Γ (ein)} .

$EX^{-c} = \frac{b^a}{\Gamma(a)}\int x^{a-1-c}e^{-bx}=\frac{b^a\Gamma(a-c)}{b^{a-c}\Gamma(a)}.$

Da der hintere auch Gamma ist, nämlich.

p (θ ∣ y) \propto θ^{α + n /. 2} e^{- - θ (β + \sum_{ich} y_{ich}^{2} /. 2)},

$p(\theta \mid \mathbf y)\propto \theta^{\alpha + n/2}e^{-\theta (\beta + \sum_i y_i^2 / 2)},$

Daraus ergeben sich unmittelbar die erforderlichen Momente und geben $\delta(\mathbf y).$

— ekvall
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