Grundlegendes zur QR-Zerlegung

Ich habe ein funktionierendes Beispiel (in R), das ich weiter zu verstehen versuche. Ich benutze Limma, um ein lineares Modell zu erstellen, und versuche zu verstehen, was in den Fold Change-Berechnungen Schritt für Schritt vor sich geht. Ich versuche hauptsächlich herauszufinden, was passiert, um die Koeffizienten zu berechnen. Nach allem, was ich herausfinden kann, wird die QR-Zerlegung verwendet, um die Koeffizienten zu erhalten. Daher suche ich im Wesentlichen nach einer Erklärung oder nach einer Möglichkeit, die zu berechnenden Gleichungen oder den Quellcode für qr () in schrittweise anzuzeigen R, um es selbst zu verfolgen.

Verwendung der folgenden Daten:

expression_data <- c(1.27135202935009, 1.41816160331787, 1.2572772420417, 1.70943398046296, 1.30290218641586, 0.632660015122616, 1.73084258791384, 0.863826352944684, 0.62481665344628, 0.356064235030147, 1.31542028558644, 0.30549909383238, 0.464963176430548, 0.132181421105667, -0.284799809563931, 0.216198538884642, -0.0841133304341238, -0.00184472290008803, -0.0924271878885008, -0.340291804468472, -0.236829711453303, 0.0529690806587626, 0.16321956624511, -0.310513510587778, -0.12970035111176, -0.126398635780533, 0.152550803185228, -0.458542514769473, 0.00243517688116406, -0.0190192219685527, 0.199329876859774, 0.0493831375210439, -0.30903829000185, -0.289604319193543, -0.110019942085281, -0.220289950537685, 0.0680403723818882, -0.210977291862137, 0.253649629045288, 0.0740109953273042, 0.115109148186167, 0.187043445057404, 0.705155251555554, 0.105479342752451, 0.344672919872447, 0.303316487542805, 0.332595721664644, 0.0512213943473417, 0.440756755046719, 0.091642538588249, 0.477236022595909, 0.109140019847968, 0.685001267317616, 0.183154080053337, 0.314190891668279, -0.123285017407119, 0.603094973500324, 1.53723917249845, 0.180518835745199, 1.5520102749957, -0.339656677699664, 0.888791974821514, 0.321402618155527, 1.31133008668306, 0.287587853884556, -0.513896569786498, 1.01400498573403, -0.145552182640197, -0.0466811491949621, 1.34418631328095, -0.188666887863983, 0.920227741574566, -0.0182196762358299, 1.18398082848213, 0.0680539755381465, 0.389472802053599, 1.14920099633956, 1.35363045061024, -0.0400907708395635, 1.14405154287124, 0.365672853509181, -0.0742688460368051, 1.60927415300638, -0.0312210890874907, -0.302097025523754, 0.214897201115632, 2.029775196118, 1.46210810601113, -0.126836819148653, -0.0799005522761045, 0.958505775644153, -0.209758749029421, 0.273568395649965, 0.488150388217536, -0.230312627718208, -0.0115780974342431, 0.351708198671371, 0.11803520077305, -0.201488605868396, 0.0814169684941098, 1.32266103732873, 1.9077004570343, 1.34748531668521, 1.37847539147601, 1.85761827653095, 1.11327229058024, 1.21377936983249, 1.167867701785, 1.3119314966728, 1.01502530573911, 1.22109375841952, 1.23026951795161, 1.30638557237133, 1.02569437924906, 0.812852833149196) 

treatment <- c('A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'B', 'B', 'B', 'B', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'B', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'C', 'A', 'B', 'A', 'C', 'A', 'C', 'A', 'B', 'C', 'B', 'C', 'C', 'A', 'C', 'A', 'B', 'A', 'C', 'B', 'B', 'A', 'C', 'A', 'C', 'C', 'A', 'C', 'B', 'C', 'A', 'A', 'B', 'C', 'A', 'C', 'B', 'B', 'C', 'C', 'B', 'B', 'C', 'C', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A', 'A')

variation <- c(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3)

... und das folgende Modelldesign

design               <- model.matrix(~0 + factor(treatment,
                                                 levels=unique(treatment)) +
                                          factor(variation))
colnames(design)     <- c(unique(treatment),
                          paste0("b",
                                 unique(variation)[-1]))
#expression_data consists of more than the data given. The data given is just one row from the object
fit                  <- lmFit((expression_data), design)

cont_mat             <- makeContrasts(B-A,
                                      levels=design)
fit2                 <- contrasts.fit(fit,
                                      contrasts=cont_mat)
fit2                 <- eBayes(fit2)

Gibt mir eine Fold-Änderung von -0.8709646.

Die Koeffizienten können wie folgt ermittelt werden:

qr.solve(design, expression_data)

Dann ist es ein einfacher Fall von BA , um die Fold-Änderung zu erhalten.

Nun ist das, was mich verwirrt, wie es qr.solvetatsächlich funktioniert, es ruft die qrFunktion auf, aber ich kann die Quelle dafür nicht zu finden scheinen.

Hat jemand eine gute Erklärung für die qr-Zerlegung oder eine Möglichkeit, genau zu verfolgen, was passiert, um die Koeffizienten abzuleiten?

Danke für jede Hilfe!

Die Idee der QR-Zerlegung als Verfahren zum Abrufen von OLS-Schätzungen wurde bereits in dem von @MatthewDrury verlinkten Beitrag erläutert.

Der Quellcode der Funktion qrist in Fortran geschrieben und kann schwer zu verfolgen sein. Hier zeige ich eine minimale Implementierung, die die Hauptergebnisse für ein von OLS angepasstes Modell wiedergibt. Hoffentlich sind die Schritte leichter zu befolgen.

Fazit: Mit dem QR-Verfahren wird die Matrix der Regressorvariablen in eine orthonormale Matrix und eine nicht singuläre obere Dreiecksmatrix zerlegt . Das Einsetzen von in die normalen Gleichungen ergibt:Q R X = Q R X ' X β = X '$X$$Q$$R$$X = QR$$X'X\hat\beta = X'y$

Vormultiplizieren mit und Verwenden der Tatsache, dass eine diagonale Matrix ist, ergibt: Q '$R^{-1}$$Q'Q$

Der Punkt dieses Ergebnisses ist, dass, da eine obere Dreiecksmatrix ist, diese Gleichung leicht durch Rückwärtssubstitutionen nach zu lösen ist .$R$$\hat\beta$

Wie bekommen wir nun die Matrizen und ? Wir können Householder Transformation, Givens Rotationen oder das Gram-Schmidt-Verfahren.$Q$$R$

Im Folgenden verwende ich Householder-Transformationen. Siehe Details zum Beispiel hier . Der folgende Code basiert auf dem Pascal-Code, der im Buch Pollock (1999), Kapitel 7 und 8 beschrieben ist. Die Matrix der Regressoren wird zum Speichern der Matrix der QR-Zerlegung verwendet. Die abhängige Variable wird mit den Ergebnissen von (rechts oben in Gleichung (1)) überschrieben . Beachten Sie auch, dass im letzten Schritt die Restsumme der Quadrate aus diesem Vektor erhalten werden kann.Y Q '$R$$Y$$Q'y$

QR.regression <- function(y, X)
{
  nr <- length(y)
  nc <- NCOL(X)

  # Householder transformations
  for (j in seq_len(nc))
  {
    id <- seq.int(j, nr)
    sigma <- sum(X[id,j]^2)
    s <- sqrt(sigma)
    diag_ej <- X[j,j]
    gamma <- 1.0 / (sigma + abs(s * diag_ej))
    kappa <- if (diag_ej < 0) s else -s
    X[j,j] <- X[j,j] - kappa
    if (j < nc)
    for (k in seq.int(j+1, nc))
    {
      yPrime <- sum(X[id,j] * X[id,k]) * gamma
      X[id,k] <- X[id,k] - X[id,j] * yPrime
    }

    yPrime <- sum(X[id,j] * y[id]) * gamma
    y[id] <- y[id] - X[id,j] * yPrime

    X[j,j] <- kappa

  } # end Householder

  # residual sum of squares
  rss <- sum(y[seq.int(nc+1, nr)]^2)

  # Backsolve
  beta <- rep(NA, nc)
  for (j in seq.int(nc, 1))
  {
    beta[j] <- y[j]
    if (j < nc)
    for (i in seq.int(j+1, nc))
      beta[j] <- beta[j] - X[j,i] * beta[i]
    beta[j] <- beta[j] / X[j,j]
  }

  # set zeros in the lower triangular side of X (which stores) 
  # not really necessary, this is just to return R for illustration
  for (i in seq_len(ncol(X)))
    X[seq.int(i+1, nr),i] <- 0

  list(R=X[1:nc,1:nc], y=y, beta=beta, rss=rss)
}

Wir können überprüfen, ob die gleichen Schätzungen wie lmerhalten wurden.

# benchmark results
fit <- lm(expression_data ~ 0+design)
# OLS by QR decomposition
y <- expression_data
X <- design
res <- QR.regression(y, X)
res$beta
# [1]  1.43235881  0.56139421  0.07744044 -0.15611038 -0.15021796    
all.equal(res$beta, coef(fit), check.attributes=FALSE)
# [1] TRUE
all.equal(res$rss, sum(residuals(fit)^2))
# [1] TRUE

Wir können auch die Matrix und überprüfen, ob sie orthogonal ist:$Q$

Q <- X %*% solve(res$R)
round(crossprod(Q), 3)
#   1 2 3 4 5
# 1 1 0 0 0 0
# 2 0 1 0 0 0
# 3 0 0 1 0 0
# 4 0 0 0 1 0
# 5 0 0 0 0 1

Die Reste können erhalten werden als y - X %*% res$beta.

Verweise

DSG Pollock (1999) Ein Handbuch für Zeitreihenanalyse, Signalverarbeitung und Dynamik , Academic Press.