Bestellstatistik für die Betaverteilung

Sei iid und zieht aus $x_1,\dots,x_n$ . Wie sind die Statistiken für minimale und maximale Bestellungen verteilt? $Beta\left(\frac{k}2,\frac{k-p-1}{2}\right)$

Ich würde mich sehr über eine Referenz freuen, wenn dies möglich ist. Im Allgemeinen bin ich nicht mit dem Ableiten von Auftragsstatistiken vertraut.

Bearbeiten: Da die Beta-Verteilung als Statistik für die gleichmäßige Verteilung interpretiert werden kann, gehe ich davon aus, dass das Minimum oder Maximum der Beta-Verteilung gemäß einer anderen Beta-Verteilung verteilt wird. $k$

Edit_2: Ich habe eine etwas genauere Einstellung hinzugefügt, die mir zufällig wichtig ist. Am Ende suche ich nach Tailbounds für das Minimum und das Maximum, also werde ich mich mit jeder Form zufrieden geben, die zu diesen führt. Letztendlich interessiert mich auch der asymptotische Fall, aber es ist sozusagen mein nächstes Anliegen.

order-statistics beta-distribution

— Lepidopterist
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Vielleicht möchten Sie erwähnen, welche Form einer Antwort Sie benötigen. Im Allgemeinen ist das PDF ein Polynom mal eine Potenz einer unvollständigen Beta-Funktion, die wahrscheinlich nur numerisch vereinfacht oder sogar berechenbar ist.

— whuber

@whuber, ich habe versucht, deine Frage in meiner zweiten Bearbeitung zu beantworten. Ich habe zunächst die Einstellung geändert, um sie meinen Interessen anzupassen. Zweitens beschäftige ich mich in erster Linie mit dem Tailbound bei beiden. Was auch immer dazu führt, wird mich glücklich machen. Ist mein Argument richtig, warum es eine Beta-Distribution sein sollte (zumindest in einigen Fällen)?

— Lepidopterist

Ich glaube, Ihr Argument trifft zu, wenn (a)

und Sie das Minimum und (b)

suchen und Sie das Maximum suchen. Andernfalls gilt dies nicht, da die Extremwerte einer Reihe von Statistiken mittlerer Ordnung nicht mit den Ordnungsstatistiken identisch sind.

k / 2 = 1

$k/2=1$

(k - p - 1) / 2 = 1

$(k-p-1)/2=1$

— whuber

Ich interessiere mich für den allgemeineren Fall

ist nicht unbedingt

. Tatsächlich möchte ich letztendlich berechnen, was passiert, wenn

und

ins Unendliche gehen.

(k - p - 1) / 2

$(k-p-1)/2$

1

$1$

k

$k$

p

$p$

— Lepidopterist

Sie sollten auch etwas über die Beziehung zwischen

und

angeben, da beide ins Unendliche gehen - geht einer schneller als der andere?

k

$k$

p

$p$

— MichaelChirico

Lassen Sie die übergeordnete Zufallsvariable $X \sim Beta(a,b)$ mit pdf $f(x)$ :

_{(Quelle: tri.org.au )}

Bei einer Stichprobe der Größe $n$ lautet das PDF der Statistik $1^{st}$ order (Stichprobenminimum):

_{(Quelle: tri.org.au )}

... und das PDF der Statistik $n^{th}$ order (Stichprobenmaximum) lautet:

_{(Quelle: tri.org.au )}

wo:

Ich verwende die OrderStatFunktion aus dem mathStatica- Paket für Mathematica, um die Nitty-Gritties zu automatisieren
Beta[x,a,b] $B_x(a,b) = \int _0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} d t$
und der Bereich der Unterstützung ist (0,1).

— Wölfe
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