Ein seltsamer Schritt auf einem Beweis über die Verteilung quadratischer Formen

9

Der folgende Satz stammt aus der 7. Ausgabe von " Introduction to Mathematical Statistics " von Hogg, Craig und Mckean und betrifft die notwendige und ausreichende Bedingung für die Unabhängigkeit zweier quadratischer Formen normaler Variablen.

Dies ist ein ziemlich langer Auszug, aber ich würde mich über Hilfe nur beim Übergang von 9.9.6 zu 9.9.7 freuen . Ich habe die vorherigen Schritte eingefügt, um das Gesamtbild zu erhalten, falls ein vorheriges Ergebnis implizit verwendet wird. Könnten Sie mir bitte helfen zu verstehen, warum 9.9.6 und 9.9.7 äquivalente Darstellungen sind? Ich habe versucht, 9.9.7 selbst abzuleiten, aber alle meine Versuche endeten frustriert.

Der Beweis geht danach weiter, aber ich habe keine anderen Probleme. Vielen Dank im Voraus.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

self-study mathematical-statistics quadratic-form

— JohnK
quelle

7

A B = {Γ_{11}^{'} Λ_{11}} Γ_{11} Γ_{21}^{'} {Λ_{22} Γ_{21}} = U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V

${\mathbf {AB}}=\{\mathbf{\Gamma_{11}'\Lambda_{11}}\}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}\{\mathbf{\Lambda_{22}\Gamma_{21}}\}={\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$

U^{'} A B V^{'} = U^{'} U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V V^{'}

$\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'=\mathbf{U}'{\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}\mathbf{V}'$

(U^{'} U)^{- 1} U^{'} A B V^{'} (V V^{'})^{- 1} = Γ_{11} Γ_{21}^{'}

$(\mathbf{U}'{\mathbf U})^{-1}\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'({\mathbf V}\mathbf{V}')^{-1}=\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$

Γ_{11} Γ_{21}^{'} = 0

$\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}=0$

A B = 0

$\mathbf{{AB}}=0$

— Xi'an
quelle

Ja, das war genau mein Gedankengang, danke. Ich habe mir die Liste der Errata für dieses Buch angesehen, aber das steht nicht darauf, deshalb fand ich es äußerst rätselhaft.

— JohnK

7

Ich kontaktierte den Autor Professor Joseph W. McKean, der den Fehler erkannte und freundlicherweise die Korrektur anbot. Ich poste es hier, falls jemand anderes, der alleine studiert, es braucht.

Nach (9.9.6) schreiben:

$\mathbf{U}$ $\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}^{\prime}$

$\mathbf{AB}=\mathbf{0}$

U [Γ_{11} Γ_{21}^{'} V] = 0

$\mathbf{U}\left[\mathbf{\Gamma}_{11}\mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}\mathbf{V}\right]=\mathbf{0}$

$\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$

V^{'} [Γ_{21} Γ_{11}] = 0

$\mathbf{V}^{\prime} \left[ \mathbf{\Gamma}_{21} \mathbf{\Gamma}_{11} \right]=\mathbf{0}$

$\mathbf{V}^{\prime}$ $\mathbf{\Gamma}_{11} \mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}=\mathbf{0}$ $\left(9.9.5 \right)$

(und der Beweis geht für die andere Richtung weiter)

— JohnK
quelle