Ableiten der Wahrscheinlichkeitsfunktion für IV-Probit

Ich habe also ein binäres Modell, bei dem die latente unbeobachtete Variable und die beobachtete ist. bestimmt und ist somit mein Instrument. Kurz gesagt, das Modell ist. Da die Fehlerterme nicht unabhängig sind, aber Ich verwende ein IV-Probit-Modell. $y_1^*$ $y_1 \in \{0,1\}$ $y_2$ $y_1$ $z_2$

\begin{array}{rcl} y_{1}^{*} & = & δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + u_{1} \\ y_{2} & = & δ_{21} z_{1} + δ_{22} z_{2} + v_{2} = z δ + v_{2} \\ y_{1} & = & 1 [y^{*} > 0] \end{array}

$\begin{eqnarray} y_1^*&=& \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + u_1 \\ y_2 &=& \delta_{21} z_1 + \delta_{22}z_2 + v_2 = \textbf{z}\delta + v_2 \\ y_1 &=& \text{1}[y^*>0] \end{eqnarray}$

\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} u_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) \sim N (0, [\begin{matrix} 1 & η \\ η & τ^{2} \end{matrix}]) . \end{array}

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \sim \mathcal{N} \left(\textbf{0} \; , \begin{bmatrix} 1 &\eta \\ \eta &\tau^2 \end{bmatrix} \right). \nonumber \end{eqnarray}$

Ich habe Probleme, die Wahrscheinlichkeitsfunktion abzuleiten. Ich , dass ich einen der Fehlerterme als lineare Funktion des anderen schreiben kann, also und dass verwendet werden sollte, um eine normale CDF aufzuerlegen.

\begin{array}{rcl} u_{1} = \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ, where ξ \sim N (0, 1 - η^{2}) . \end{array}

$\begin{eqnarray} u_{1} = \frac{\eta}{\tau^2}v_{2} + \xi, \qquad \text{where} \quad \xi \sim \mathcal{N}(0, 1-\eta^2). \end{eqnarray}$

ξ

$\xi$

Ich habe im Stata-Handbuch ( http://www.stata.com/manuals13/rivprobit.pdf ) nach IV-Probit gesucht und sie schlagen vor, die Definition der bedingten Dichte , um die Wahrscheinlichkeitsfunktion abzuleiten, aber ich wirklich nicht benutze es (und ja, ich habe das falsche Ergebnis ...). Mein bisheriger Versuch ist:

\begin{array}{rcl} f (y_{1}, y_{2} ∣ z) = f (y_{1} ∣ y_{2}, z) f (y_{2} ∣ z) \end{array}

$\begin{eqnarray} f(y_1, y_2 \mid \textbf{z}) = f(y_1 \mid y_2, \textbf{z}) f(y_2 \mid \textbf{z}) \end{eqnarray}$

\begin{array}{rcl} L (y_{1}) & = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (y_{1} = 0 ∣ y_{2}, z)^{1 - y_{1}} Pr (y_{1} = 1 ∣ y_{2}, z)^{y_{1}} \\ = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (y_{1}^{*} \leq 0)^{1 - y_{1}} (Pr (y_{1}^{*} > 0) f (y_{2} ∣ z))^{y_{1}} \\ [standardizing] & = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (\frac{ξ}{\sqrt{1 - η^{2}}} \leq - \frac{δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z)}{\sqrt{1 - η^{2}}})^{1 - y_{1}} \\ \cdot & (Pr (\frac{ξ}{\sqrt{1 - η^{2}}} < \frac{δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z)}{\sqrt{1 - η^{2}}}) f (y_{2} ∣ z))^{y_{1}} \\ = & [1 - Φ (w)]^{1 - y_{i}} {[Φ (w) f (y_{2} ∣ x)]}^{y_{1}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{L}(y_1) &=& \prod_{i=1}^n \Pr(y_1=0 \mid y_2, \textbf{z} )^{1-y_1} \Pr(y_1=1 \mid y_2, \textbf{z} )^{y_1} \nonumber \\ &=& \prod_{i=1}^n \Pr(y_1^* \leq 0)^{1-y_1} \Big(\Pr(y_1^* > 0) f(y_2 \mid \textbf{z}) \Big)^{y_1} \nonumber \\ \text{[standardizing]} &=& \prod_{i=1}^n \Pr \Big( \frac{\xi}{\sqrt{1-\eta^2}} \leq - \frac{\delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2 - \textbf{z})}{\sqrt{1-\eta^2}}\Big)^{1-y_1} \\ &\cdot& \Big(\Pr \Big( \frac{\xi}{\sqrt{1-\eta^2}} < \frac{\delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2 - \textbf{z})}{\sqrt{1-\eta^2}}\Big) f(y_2 \mid \textbf{z}) \Big)^{y_1} \nonumber \\ &=& [1-\Phi(w)]^{1-y_i} \left[ \Phi(w)f(y_2 \mid \textbf{x}) \right]^{y_1} \end{eqnarray}$ Wie gesagt, ich habe die oben angegebene Definition für die Gelenkdichtefunktion nicht verwendet. Außerdem wird am Ende auch

f (y_{2} ∣ z)

$f(y_2 \mid \textbf{z})$ auf

angehoben,

y_{1}

$y_1$ was falsch zu sein scheint. Kann mir jemand einen Hinweis geben, wie ich die richtige (log-) Wahrscheinlichkeitsfunktion ableiten kann oder wo ich falsch gelaufen bin?

maximum-likelihood econometrics probit

— Cederlöf
quelle

Denken Sie daran, dass für eine bivariate normale Variable die bedingte Verteilung von bei ist

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N ([\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{X}^{2} & ρ σ_{X} σ_{Y} \\ ρ σ_{X} σ_{Y} & σ_{Y}^{2} \end{matrix}]),

$\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}\sim\mathcal{N}\left(\begin{bmatrix}\mu_X\\\mu_Y\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}\sigma_X^2 & \rho\sigma_X\sigma_Y\\\rho\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2\end{bmatrix}\right),$

Y

$Y$

X

$X$

Y ∣ X \sim N (μ_{Y} + ρ σ_{Y} \frac{X - μ_{X}}{σ_{X}}, σ_{Y} [1 - ρ^{2}]) .

$Y\mid X \sim \mathcal{N}\left(\mu_Y+\rho\sigma_Y\frac{X-\mu_X}{\sigma_X},\sigma_Y\left[1-\rho^2\right]\right).$

Im vorliegenden Fall haben wir was bedeutet, dass wo (und dies war dein erster Fehler)

\begin{aligned} u_{1} ∣ v_{2} & \sim N (0 + \frac{η}{1 \cdot τ} \cdot 1 \frac{v_{2} - 0}{τ}, 1 \cdot [1 - {(\frac{η}{1 \cdot τ})}^{2}]) \\ = N (\frac{η}{τ^{2}} v_{2}, 1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}), \end{aligned}

$\begin{align} u_1 \mid v_2 &\sim \mathcal{N}\left(0+\frac{\eta}{1\cdot\tau}\cdot1\frac{v_2-0}{\tau}, 1\cdot\left[1-\left(\frac{\eta}{1\cdot\tau}\right)^2\right] \right) \\ &= \mathcal{N}\left(\frac{\eta}{\tau^2}v_2, 1-\frac{\eta^2}{\tau^2} \right), \end{align}$

u_{1} = \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ

$u_1=\frac{\eta}{\tau^2}v_2+\xi$

ξ \sim N (0, 1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}) .

$\xi\sim\mathcal{N}\left(0,1-\frac{\eta^2}{\tau^2}\right).$

Wir können also die erste Gleichung umschreiben

\begin{aligned} y_{1}^{*} & = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + u_{1} \\ = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ \\ = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z δ) + ξ . \end{aligned}

$\begin{align} y_1^* &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + u_1 \\ &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}v_2+\xi \\ &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2-\textbf{z}\delta)+\xi. \end{align}$

Nun, denkt daran , dass die bedingte Wahrscheinlichkeits - Dichtefunktion von gegeben ist $X=x$ $Y=y$

f_{X} (x ∣ y) = \frac{f_{X Y} (x, y)}{f_{Y} (y)} .

$f_{X}(x \mid y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_{Y}(y)}.$

Im vorliegenden Fall haben wir der in Ihren Ausdruck umgeordnet werden kann

f_{1} (y_{1} ∣ y_{2}, z) = \frac{f_{12} (y_{1}, y_{2} ∣ z)}{f_{2} (y_{2} ∣ z)},

$f_{1}(y_1 \mid y_2, \mathbf{z})=\frac{f_{12}(y_1,y_2 \mid \mathbf{z})}{f_{2}(y_2 \mid \mathbf{z})},$

f_{12} (y_{1}, y_{2} ∣ z) = f_{1} (y_{1} ∣ y_{2}, z) f_{2} (y_{2} ∣ z) .

$f_{12}(y_1, y_2 \mid \mathbf{z})= f_{1}(y_1 \mid y_2, \mathbf{z})f_{2}(y_2 \mid \mathbf{z}).$

Dann können wir die Wahrscheinlichkeit als Funktion der Dichte der beiden unabhängigen Schocks schreiben : $v_1,\xi_1$

\begin{aligned} L (y_{1}, y_{2} ∣ z) & = \prod_{i}^{n} f_{1} (y_{1 i} ∣ y_{2 i}, z_{i}) f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(y_{1 i} = 1)}^{y_{1 i}} Pr {(y_{1 i} = 0)}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(y_{1 i}^{*} > 0)}^{y_{1 i}} Pr {(y_{1 i}^{*} \leq 0)}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + ξ_{i} > 0)}^{y_{1 i}} \\ Pr {(δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + ξ_{i} \leq 0)}^{1 - y_{1 i}} \\ f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(ξ_{i} > - [δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ)])}^{y_{1 i}} \\ Pr {(ξ_{i} \leq - [δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ)])}^{1 - y_{1 i}} \\ f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(\frac{ξ_{i} - 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} > - \frac{δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}})}^{y_{1 i}} \\ Pr {(\frac{ξ_{i} - 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - \frac{δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ) + 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}})}^{1 - y_{1 i}} \\ f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} Pr {(\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} > - w_{i})}^{y_{1 i}} Pr {(\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{i})}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i}^{n} {[1 - Pr (\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{i})]}^{y_{1 i}} Pr {(\frac{ξ_{i}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{i})}^{1 - y_{1 i}} f_{2} (y_{2 i} ∣ z_{i}) \\ = \prod_{i} {[1 - Φ (- w_{i})]}^{y_{1 i}} Φ (- w_{i})^{1 - y_{1 i}} φ (\frac{y_{2 i} - z_{i} δ}{τ}) \\ = \prod_{i}^{n} Φ (w_{i})^{y_{1 i}} {[1 - Φ (w_{i})]}^{1 - y_{1 i}} φ (\frac{y_{2 i} - z_{i} δ}{τ}) \\ = Φ (w)^{y_{1}} {[1 - Φ (w)]}^{1 - y_{1}} φ (\frac{y_{2} - z δ}{τ}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{L}(y_1,y_2\mid \mathbf{z}) &= \prod_i^n f_{1}(y_{1i} \mid y_{2i}, \mathbf{z}_i)f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(y_{1i}=1\right)^{y_{1i}}\Pr\left(y_{1i}=0\right)^{1-y_{1i}}f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(y_{1i}^*>0\right)^{y_{1i}}\Pr\left(y_{1i}^*\leq0\right)^{1-y_{1i}}f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_{i}\delta)+\xi_i>0\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+\xi_i\leq0\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\xi_i>-\left[\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)\right]\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\xi_i\leq-\left[\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)\right]\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\frac{\xi_i-0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}>-\frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\frac{\xi_i-0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-\frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}>-w_i\right)^{y_{1i}} \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)^{1-y_{1i}} f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \left[1-\Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)\right]^{y_{1i}} \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)^{1-y_{1i}} f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i \left[1-\Phi(-w_i)\right]^{y_{1i}} \Phi(-w_i)^{1-y_{1i}} \varphi\left(\frac{y_{2i}-\mathbf{z}_i\delta}{\tau}\right) \\ &= \prod_i^n \Phi(w_i)^{y_{1i}} \left[1-\Phi(w_i)\right]^{1-y_{1i}} \varphi\left(\frac{y_{2i}-\mathbf{z}_i\delta}{\tau}\right) \\ &= \Phi(w)^{y_{1}} \left[1-\Phi(w)\right]^{1-y_{1}} \varphi\left(\frac{y_{2}-\mathbf{z}\delta}{\tau}\right) \\ \end{align}$ Dabei ist und sind die kumulative Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung.

\begin{aligned} w_{i} = \frac{δ_{1} z_{1 i} + α_{1} y_{2 i} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 i} - z_{i} δ)}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} . \end{aligned}

$\begin{align} w_i = \frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}. \end{align}$

Φ (z)

$\Phi(z)$

φ (z)

$\varphi(z)$

— Fredrik P.
quelle