PDF einer Summe abhängiger Variablen

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Dies ist eine direkte Fortsetzung meiner jüngsten Frage . ich eigentlich bekommen möchte, ist die Verteilung von , wobei in einheitlich sind . Nun wurde die Verteilung von im erwähnten Thread erfolgreich berechnet , und nennen wir es . Die Verteilung von ist einfach . Der letzte Schritt wäre, die Verteilung der Summe von und auf ähnliche Weise wie die vorherige zu , jedoch und $a+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $a,b,c,d$ $[0,1]$ $(a-d)^2+4bc$ $h(x)$ $\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $h(x^2)\cdot 2x$ $X=a+d$ $Y=\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $X$ $Y$ sind nicht unabhängig, und jetzt stecke ich fest und weiß nicht einmal, wo ich anfangen soll.

Es kann nützlich sein zu beachten, dass und in letzterem die Komponenten unter der Wurzel (dh und ) sind leicht zu berechnen. Dann interessiert mich die Verteilung von , da ich die Verteilungen von und kenne . $\sqrt{(a-d)^2+4bc}=\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}$ $X^2=(a+d)^2$ $W=-4(ad-bc)$ $X+\sqrt{X^2+W}$ $X$ $\sqrt{X^2+W}$

Ich sehe keine nützliche Änderung von Variablen. Ich habe über die Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit nachgedacht, aber wie kann ich ? Ich könnte zu viel voraus sein und muss vielleicht ein paar Schritte zurückgehen. $f(\sqrt{X^2+W}\Big|X)$

Kann man so etwas überhaupt berechnen?

Die resultierende Verteilung sollte folgendermaßen aussehen: Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

EDIT: Die akzeptierte Antwort gibt die Lösung, nach der ich gesucht habe. Ich bin jedoch immer noch gespannt, wie ich sie analytisch ableiten kann. Ich meine, in meiner vorherigen Frage wurde die CDF als Integral angegeben:

$\int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy$

mit und durch einfache Funktionen gegeben. Theoretisch könnte dies mit Stift und Papier integriert werden. Natürlich ist die Verwendung von Software selbstverständlich. Ich bin jedoch immer noch gespannt, wie ich hier eine geschlossene Antwort geben kann. Wolfs Antwort läutet eine Glocke, aber ... Eine Faltung von drei PDFs einer solch (relativ) komplizierten Funktion? $F$ $g$

— corey979
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Finden Sie das PDF von: wobei iid $\quad A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}, \quad$ $A,B,C,D$ $Uniform(0,1)$

Sei , wobei pdf hat: . $U = 4 BC$ $U$ $\quad g(u) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{4}{u}\right) \quad \text{for } 0<u<4$

Dies reduziert das Problem von 4 auf 3 unabhängige Zufallsvariablen. Dann wird durch die Unabhängigkeit, die gemeinsame PDF ist : $(A,D,U)$ $f(a,d,u)$

Sei . Das cdf von ist : $Z = A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}$ $Z$ $P(Z<z)$

wo ich die ProbFunktion aus dem mathStatica- Paket für Mathematica verwende, um die Nitty-Gritties zu automatisieren.

Das pdf von ist einfach die Ableitung des letzteren wrt , was die Lösung ergibt: $Z$ $z$

Alles erledigt.

Hier ist eine Darstellung des genauen theoretischen PDF von : $Z$

Monte-Carlo-Scheck

Das folgende Diagramm vergleicht eine empirische Monte-Carlo-Näherung des PDFs (verschnörkeltes Blau) mit dem oben abgeleiteten theoretischen PDF (rot gestrichelt). Sieht gut aus.

— Wölfe
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Ordentlich! Obwohl ich mathStatica nicht habe, habe ich es direkt in Mathematica geschafft. Dies beantwortet meine Frage ziemlich vollständig, aber ich bin immer noch gespannt, wie ich es ohne Computer machen kann, ähnlich wie bei meiner vorherigen Frage. Dort gab whuber das Integral explizit und theoretisch an, das mit Stift und Papier berechnet werden konnte. Natürlich ist die Verwendung von Software selbstverständlich, aber wie soll ich im aktuellen Fall vorgehen?

— corey979

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Abramowitz und Stegun? ;)

— Wolfies

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Nun, Sie kennen die Integrale, die bewertet werden müssen, also ist es nur eine Frage der Bewertung. In den Tagen, bevor wir Computeralgebrasysteme hatten, ging man bei unangenehmen und kniffligen Integrationsaufgaben außerhalb des Üblichen normalerweise zu Integraltabellen wie Abramowitz und Stegun.

— Wolfies

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Kurz nachdem ich die Antwort von Wolfies gelesen hatte, verstand ich, dass ich die endgültige Verteilung von Anfang an ohne alle Mittelschritte berechnen konnte:

M[x_] := M[x] = Evaluate@FullSimplify@ Integrate[ Boole[a + d + Sqrt[(a - d)^2 + 4 b c] <= x], {a, 0, 1}, {b, 0, 1}, {c, 0, 1}, {d, 0, 1}] gibt die CDF und

m[x_] := m[x] = Evaluate@FullSimplify@D[M[x], x] gibt das PDF, das perfekt mit meiner Simulation funktioniert:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Dies verwendet direkt den Ansatz einer Antwort auf meine vorherige Frage.

— corey979
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Ja - das funktioniert hier gut. Interessanterweise scheint es jedoch NICHT für Ihr ursprüngliches (einfacheres) Problem zu funktionieren. Das heißt, es wird Integrate[ Boole[(a-d)^2 + 4 b c < x], {a,0,1}, {b,0,1}, {c,0,1}, {d,0,1}]ein nicht bewertetes Integral zurückgegeben.

— Wolfies