Wenn eine unabhängige Beta sind, ist show ebenfalls Beta

Hier ist ein Problem, das vor einigen Jahren in einer Semesterprüfung an unserer Universität aufgetreten ist und das ich nur schwer lösen kann.

Wenn sind unabhängig Zufallsvariablen mit Dichten und jeweils dann zeigen , dass folgt . $X_1,X_2$ $\beta$ $\beta(n_1,n_2)$ $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ $\sqrt{X_1X_2}$ $\beta(2n_1,2n_2)$

Ich habe die Jacobi-Methode verwendet, um zu erhalten, dass die Dichte von wie folgt ist: $Y=\sqrt{X_1X_2}$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

Ich bin an diesem Punkt tatsächlich verloren. Jetzt fand ich in der Hauptzeitung einen Hinweis, der geliefert worden war. Ich habe versucht, den Hinweis zu verwenden, konnte aber die gewünschten Ausdrücke nicht erhalten. Der Hinweis ist wörtlich wie folgt:

Hinweis: Leiten Sie eine Formel für die Dichte von in Bezug auf die angegebenen Dichten von und und versuchen Sie, eine Änderung der Variablen mit . $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ $z=\dfrac{y^2}{x}$

An dieser Stelle versuche ich, diesen Hinweis zu nutzen, indem ich diese Änderung der Variablen berücksichtige. Daher erhalte ich was sich nach Vereinfachung als (Schreiben von für )

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} d z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{x^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

Ich weiß nicht wirklich, wie ich vorgehen soll. Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich den Hinweis richtig interpretiere. Wie auch immer, hier ist der Rest des Hinweises:

Beachten Sie, dass durch Verwendung der Änderung der Variablen die erforderliche Dichte auf zwei Arten ausgedrückt werden kann, um durch von zu erhalten. Teilen Sie nun den Integrationsbereich in und und schreiben Sie und fahren Sie mit . $z=\dfrac{y^2}{x}$
$f_{Y} (y) = c o n s t a n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{x})^{n_{2} - 1} (1 - x)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

Ehrlich gesagt kann ich nicht verstehen, wie man diese Hinweise verwenden kann: Es scheint, dass ich nirgendwo hinkomme. Hilfe wird geschätzt. Danke im Voraus.

— Landon Carter
quelle

Ich habe ein ähnliches Problem gesehen, vor dem ich einige Verweise zusammengestellt hatte. Siehe arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/…

— Sid

@Sid Entschuldigung, aber ich konnte dieses Problem in diesen Referenzen oder Ähnlichem nicht finden. Könnten Sie bitte auf die Orte hinweisen? Vielen Dank!!

— Landon Carter

Sind Sie sicher, dass Sie die Jacobi-Methode richtig angewendet haben? Wenn ich es tue, erhalte ich: Ich denke, Sie werden auch die Verdoppelung brauchen Formel , siehe en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

— StijnDeVuyst

Anscheinend scheinen die Formeln gleich zu sein. Vielleicht müssen Sie die Änderung der Variablen in Ihrer Formel verwenden, um meine zu erhalten. Ich spreche über den Jacobianer.

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

— Landon Carter

Ich denke nicht, dass sie gleich sind. Wenn ich die Änderung der Variablen, die Sie in meiner Formel erwähnen, vornehme, erhalte ich etwas Einfacheres als das, was Sie im ersten Integral Ihres OP haben.

— StijnDeVuyst

Ich würde dies auf andere Weise beweisen, indem ich momentgenerierende Funktionen verwende. Oder äquivalent, indem gezeigt wird, dass das te Moment von gleich dem ten Moment einer Zufallsvariablen mit -Verteilung ist. Wenn dies für alle , dann ist die Übung durch die Stärke des Momentproblems bewiesen. $q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

Für den letzten Teil erhalten wir aus http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments dass die - te Moment ist Nun zum ersten Teil: $q$ $B$

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{x_{1} x_{2}})^{q} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int x^{q / 2} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} \cdot \int x_{2}^{q / 2} f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int x_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - x_{1})^{n_{2} - 1} d x_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int x_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - x_{2})^{n_{2} - 1} d x_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ Jetzt müssen Sie nur noch die Definition und dann die Verdopplungsformel anwenden . Es stellt sich dann heraus, dass der erste Teil und der zweite Teil genau gleich sind.

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

— StijnDeVuyst
quelle

Ich glaube nicht, dass man sagen kann, dass Gleichheit der Momente Gleichheit der Verteilung impliziert. Es gibt Beispiele, bei denen dies möglicherweise nicht zutrifft.

— Landon Carter

StijnDeVuyst, leider ist dies keine akzeptable Antwort. Ich habe ein Beispiel, in dem die Momente gleich sind, aber die Verteilungen nicht gleich sind. Das Beispiel ist allerdings etwas kompliziert. Leider habe ich das Beispiel jetzt nicht bei mir; es kam auch in einer Semesterprüfung. Aber bald werde ich das Beispiel in diesem Thread posten, wenn Sie interessiert sind. Jedenfalls habe ich das Problem selbst gelöst. Danke für Ihre Hilfe.

— Landon Carter

@yedaynara und Stijn: Ein (das?) klassische Beispiel stammt von Heyde: Betrachten Sie die pdfs wobei das pdf von ist der Standard lognormal und . Alle Mitglieder dieser Verteilungsfamilie haben die gleichen Momente (aller Bestellungen). Beachten Sie, dass das Standard-Lognormal ein Mitglied dieser Familie ist und seine Momente eine schöne geschlossene Form haben.

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$

— Kardinal

Es gibt jedoch zusätzliche Bedingungen (z. B. Carlemans) für die Momente, die die Einzigartigkeit der Verteilung garantieren. Dies ist als Hamburger Momentproblem bekannt .

— Kardinal

Zitat aus web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/… "... Es ist eine elementare lineare Algebra, um zu überprüfen, ob ein positives Maß mit endlicher Unterstützung eindeutig durch seine Momente bestimmt wird ..." Carleman-Bedingung für die M-Determinität für die Beta-Verteilungen im OP. @ Cardinal und Yedaynara sind beide richtig, dass ich zu schnell war, um dies anzunehmen. Aber anscheinend ist es die endliche Unterstützung, die den Tag rettet.

— StijnDeVuyst