Dies kann mit der geometrischen Verteilung wie folgt beantwortet werden :
Die Anzahl der Fehler k - 1 vor dem ersten Erfolg (Köpfe) mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit p ("Köpfe") ist gegeben durch:
p(X=k)=(1−p)k−1p
wobei k die Gesamtzahl der Würfe ist, einschließlich der ersten "Köpfe", die das Experiment beenden.
Und der erwartete Wert von X für ein gegebenes p ist .1/p=2
Die Ableitung des Erwartungswertes finden Sie hier . Die letzten impliziten Schritte sollten wie folgt lauten:
, das in den Ausdruck eingefügt werden soll:ddr11−r=1(1−r)2
. Mitr=1-pvereinfacht sich zuE(X)=p1−p∑x=1∞x rx=p1−p r (ddr11−r)=p1−p r 1(1−r)2r=1−p
, begründet seine Verwendung oben.]E(X)=1p
Alternativ könnten wir die negative Binomialverteilung verwenden , die als Anzahl der Fehler vor dem ersten Erfolg interpretiert wird. Die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion wird als p (Anzahl der Ausfälle, n , vor dem Erreichen von r Erfolgswahrscheinlichkeiten, wenn in jedem Bernoulli-Versuch eine bestimmte Erfolgswahrscheinlichkeit, p , gegeben ist) angegeben:
p(n;r,p)=(n+r−1r−1)pr(1−p)n
Die Erwartung für die Anzahl der Versuche n + r ergibt sich aus der allgemeinen Formel:
r(1−p)
Bei unseren bekannten Parametern: r = 1 und p = 0,5 ,
E(n+r;1,0.5)=r1−p=11−0.5=2
Daher können wir erwarten, zwei Würfe zu machen, bevor wir den ersten Kopf mit der erwarteten Anzahl von Schwänzen erhalten, die .E(n+r)−r=1
Wir können eine Monte-Carlo-Simulation ausführen, um dies zu beweisen:
set.seed(1)
p <- 1/2
reps <- 10000 # Total number of simulations.
tosses_to_HEAD <- 0 # Setting up an empty vector to add output to.
for (i in 1:reps) {
head <- 0 # Set the variable 'head' to 0 with every loop.
counter <- 0 # Same forlocal variable 'counter'.
while (head == 0) {
head <- head + rbinom(1, 1, p) # Toss a coin and add to 'head'
counter <- counter + 1 # Add 1 to 'counter'
}
tosses_to_HEAD[i] <- counter # Append number in counter after getting heads.
}
mean(tosses_to_HEAD)
[1] 2.0097