Wie finde wenn eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist?

Wie kann ich das lösen? Ich brauche Zwischengleichungen. Vielleicht lautet die Antwort . $-tf(x)$

d d t [\int \infty t x f (x) d x]

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ]$

$f(x)$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

Das heißt, und $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

Quelle: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf S.40

Probieren Sie die folgenden Zwischengleichungen aus:

d d t [\int \infty t x f (x) d x] = d d t [[x F (x)] \infty t - \int \infty t F (x) d x] ? ?

$\frac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)\,dx \right ] = \frac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)\,dx \right ]??$

d d t \int a t f (x) d x = - d d t \int t a f (x) d x = - d d t (F (t) - F (a)) = F' (t) = f (t)

$\frac{d}{dt} \int_t^a f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} \int_a^t f(x)\,dx = -\frac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

— Hiroaki Machida
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Meinen Sie ? VielleichtOder meinst du ?

ddt[∫∞txf(x) dx] $\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$

−tf(t). $-tf(t).$

ddt[∫∞txf(x) dx1−F(t)] $\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\dfrac{\int_t^\infty xf(x)~dx}{1-F(t)} \right ]$

— Henry

Verwenden Sie den Hauptsatz der Analysis

— Henry

Betrachte ein primitives von , dann ist leicht abzuleiten.

G $G$

x↦xf(x) $x \mapsto xf(x)$

∫∞txf(x)dx=G(∞)−G(t) $\int_t^\infty xf(x)dx=G(\infty)-G(t)$

— Stéphane Laurent

Bitte füge den self-studyTag hinzu und lies das Wiki .

— Glen_b

Wenn Sie für eine Prüfung lernen, ist es nicht das Richtige, Ihnen die vollständige Lösung zu geben. Fragen zum Selbststudium sollen den Fragesteller dazu bringen, das Problem selbst zu lösen.

— Xi'an,

Antworten:

Per Definition ist die Ableitung ( falls vorhanden ) die Grenze des Differenzquotienten

1 h (\int \infty t + h x f (x) d x - \int \infty t x f (x) d x) = - 1 h \int t + h t x f (x) d x

$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$

als . $h\to 0$

Unter der Annahme, dass innerhalb eines Intervalls für ein ausreichend kleines stetig ist , wird auch während dieses Intervalls stetig sein. Dann geht der Mittelwertsatz davon aus , dass es zwischen und für das $f$ $[t, t+h)$ $h\gt 0$ $x f$ $h^{*}$ $0$ $h$

- (t + h *) f (t + h *) = - 1 h \int t + h t x f (x) d x .

$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$

Da , muss , und die Kontinuität von nahe impliziert dann, dass die linke Seite eine Grenze gleich . $h\to 0$ $h^{*}\to 0$ $f$ $t$ $-t f(t)$

(Es ist schön zu sehen, dass diese Analyse keine Begründung für die Existenz des ursprünglichen falschen Integrals erfordert .) $\int_t^\infty x f(x) dx$

Doch selbst wenn eine Verteilung eine Dichte aufweist , ist die Dichte muss nicht kontinuierlich sein. An Diskontinuitätspunkten hat der Differenzquotient unterschiedliche linke und rechte Grenzen: Die Ableitung existiert dort nicht. $f$

Dies ist keine Angelegenheit, die als eine arkane mathematische "Pathologie" abgetan werden kann, die die Praktiker ignorieren können. Die PDFs vieler gängiger und nützlicher Distributionen weisen Diskontinuitätspunkte auf. Zum Beispiel hat die Verteilung Uniform diskontinuierliche PDF bei und ; eine Gamma -Verteilung hat eine diskontinuierliche PDF bei wenn (die die allgegenwärtige Exponentialverteilung und einige der Verteilungen enthält); und so weiter. Daher ist es wichtig, nicht ohne sorgfältige zu behaupten, dass die Antwort nur : Das wäre ein Fehler. $(a,b)$ $a$ $b$ $(a,b)$ $0$ $a\le 1$ $\chi^2$ $-t f(t)$

— whuber
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Ein sehr kleiner Zusatz: Es gibt Fälle, in denen das Integral auch dann differenzierbar ist, wenn nicht stetig ist. Sei für und für und für . In der Nähe von 0 ist für und 0 für , was bei perfekt differenzierbar ist .

f(x) $f(x)$

f(x)=0 $f(x)=0$

x≤0 $x\leq 0$

f(x)=1 $f(x)=1$

0<x<1 $0<x<1$

f(x)=0 $f(x)=0$

x≥2 $x\geq 2$

F(x)=x2/2 $F(x)=x^2/2$

x≥0 $x\geq 0$

x<0 $x<0$

x=0 $x=0$

— Alex R.

@Alex Nahe , , nicht 2/2 . Betrachten Sie den Fundamentalsatz der Analysis.

0+ $0^{+}$

F(x)=x $F(x)=x$

x2/2 $x^2/2$

— whuber

Entschuldigung für die Verwirrung! Ich definiere .

F(x):=∫x−∞tf(t)dt $F(x) := \int_{-\infty}^x tf(t)dt$

— Alex R.

@Alex Ihr Integrand ist stetig nahe Null, sodass ich nicht sehe, welche Art von Beispiel Sie präsentieren oder was es zeigt.

tf(t) $tf(t)$

— Whuber

Hervorragende Herleitung (+1) - es mag nichts wert sein, dass dieses Ergebnis eine Leibniz-Integralregel ist .

— Setzen Sie Monica am

Gelöst ...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

Danke euch allen!!!

— Hiroaki Machida
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Was ist die -Funktion? Warum ist die Ableitung von 0?

$G(t)$

$G(\infty)$

— Vladislavs Dovgalecs