Mediane absolute Abweichung (MAD) und SD verschiedener Verteilungen

Für normalverteilte Daten werden die Standardabweichung und die mittlere absolute Abweichung in Beziehung gesetzt durch: $\sigma$ $\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

Dabei ist die kumulative Verteilungsfunktion für die Standardnormalverteilung. $\Phi()$

Gibt es eine ähnliche Beziehung für andere Distributionen?

distributions standard-deviation mad

— vic
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An welche Distribution haben Sie gedacht?

— gung - Wiedereinsetzung von Monica

Keine spezifische Verteilung. Ich bin gerade auf einige seltsame Datensätze

— gestoßen

Ja, für viele Distributionen - aber die Zahlen sind unterschiedlich.

— Glen_b

Wenn Sie den möglichen Wertebereich kennen möchten, der MAD in SD konvertieren könnte, warum stellen Sie das nicht in der Frage?

— Glen_b

Bitte erklären Sie, was das "MAD" ist: Es hat mehr als eine konventionelle Bedeutung! (Und beide geben die gleichen Werte für Normalverteilungen an.)

— whuber

Antworten:

Um die Frage in Kommentaren anzusprechen:

Ich würde gerne wissen, ob es einen möglichen Wertebereich für die Konstante gibt

(Ich gehe davon aus, dass es sich bei der Frage um die Abweichung vom Median handeln soll.)

Das Verhältnis von SD zu MAD kann beliebig groß gemacht werden.

Nehmen Sie eine Verteilung mit einem vorgegebenen Verhältnis von SD zu MAD. Halten Sie die mittleren der Verteilung fest (was bedeutet, dass MAD unverändert ist). Bewegen Sie die Schwänze weiter nach außen. SD steigt. Bewegen Sie es weiter über eine bestimmte endliche Grenze hinaus. $50\%+\epsilon$
Das Verhältnis von SD zu MAD kann leicht nahe an , wie gewünschtindem (zum Beispiel) setzenbeiundbei 0. $\sqrt{\frac{1}{2}}$ $25\%+\epsilon$ $\pm 1$ $50\%-2\epsilon$

Ich denke das wäre so klein wie es geht.

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— Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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Ist Ihre Interpretation von "MAD" die mediane absolute Abweichung vom Mittelwert oder vom Median (der häufig verwendet wird und ausdrücklich in Xi'ans Antwort interpretiert wird)?

— whuber

@whuber - es ist wichtig, klar zu sein, danke. Ich interpretiere es als vom Median, wie es Xi'an getan hat. (Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?)

— Glen_b

Ich habe keinen Fehler gesehen - es war weder in der Frage noch in Ihrer Antwort klar, welche Interpretation beabsichtigt war (obwohl ein Leser mit einer Analyse herausfinden konnte, welche Sie verwenden). Ich erinnere mich, dass ich vor ein paar Wochen eine Frage zur Abweichung von der Mittelwertinterpretation gesehen habe.

— Whuber

$f(x;\theta)$ $\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$ $G_\theta$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$ $F_\theta$ $X$

$\theta=\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$
$\theta=(\mu,\sigma)$ $\mu$ $f (x; θ) = g ({x - μ} / σ) / σ$ $f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$ $|X-\text{MED}_\theta|$ $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$ $\mu$ $G_\theta$ $\sigma$ $\text{MAD}_\theta$ $\sigma$

— Xi'an
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