Suffizienz oder Unzulänglichkeit

Betrachten Sie eine Zufallsstichprobe wobei iid Zufallsvariablen sind, wobei . Überprüfen Sie, ob eine ausreichende Statistik für . $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

Erstens, wie können wir die Verteilung für ? Oder sollte es in zerlegt werden und folgt dies dann ? Ich denke nicht, weil zu beachten ist, dass hier nicht alle Variablen unabhängig sind. $(X_1+2X_2+X_3)$ $X_1+X_2+X_2+X_3$ $Bin(4,p)$

Wenn ich alternativ die Faktorisierungsbedingung verwende, indem ich nur die gemeinsame pmf von dann ist $(X_1,X_2,X_3)$ wobei . $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ $t(x)=x_1+2x_2+x_3$

Dies zeigt, dass nicht ausreicht. $T$

Aber was ist, wenn ich der Definition folgen und anwenden möchte , um zu prüfen, ob dieses Verhältnis unabhängig von? Dann muss ich die Verteilung von. Was ist dann die Verteilung von? $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ $p$ $g$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$

inference point-estimation sufficient-statistics

— Landon Carter
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Hinweis: Sie müssen nicht die vollständige Verteilung von

. Betrachten Sie zum Beispiel den Fall

: Wie ist die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung von

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

Wenn

dann ist

. Also ist

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

was ist abhängig von

, richtig?

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— Landon Carter

Das ist die richtige Idee - aber ich verstehe nicht, warum Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten hinzufügen. Ist

nicht ein Vektor ? (Wenn Sie möchten, können Sie dieselbe Art von Berechnungen verwenden, um die vollständige Verteilung von

(es können nur die Werte

), aber das ist nicht mehr erforderlich, oder? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— whuber

Ja, genau. Vielen Dank! Wenn wir also zeigen, dass dieses Verhältnis für mindestens eine Stichprobe nicht unabhängig von

, sind wir fertig! Vielen Dank. Und HAPPY NEW YEAR :)

p

$p$

— Landon Carter

Ja,

ist ein Vektor, aber was noch wichtiger ist,

und die Wahrscheinlichkeit

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

. Bitte korrigieren Sie mich, wenn ich falsch liege.

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— Landon Carter

Ich hatte eine Diskussion mit "whuber" und vielleicht habe ich einen (richtigen?) Hinweis bekommen, um mir einen Beispielpunkt anzusehen: bewerte $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

$x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

T (X) = 2 iff X \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

P (X = (1, 0, 1)) = p^{2} (1 - p) and P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p)^{2} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

\frac{P (X = (1, 0, 1))}{P (T (X) = 2)} = \frac{p^{2} (1 - p)}{p (1 - p)} = p

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— Landon Carter
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