Berechnung der Parameter einer Beta-Verteilung anhand des Mittelwerts und der Varianz

66

Wie kann ich die Parameter und für eine Beta-Verteilung berechnen, wenn ich den Mittelwert und die Varianz kenne, die die Verteilung haben soll? Beispiele für einen R-Befehl dazu wären am hilfreichsten. $\alpha$ $\beta$

r distributions estimation beta-distribution

— Dave Kincaid
quelle

4

Beachten Sie, dass das Betareg- Paket in R eine alternative Parametrisierung verwendet (mit dem Mittelwert und der Genauigkeit - und daher ist die Varianz ), wodurch diese Berechnungen überflüssig werden.

μ = α / α + β

$\mu=\alpha/\alpha+\beta$

ϕ = α + β

$\phi=\alpha+\beta$

μ (1 - μ) / (1 + ϕ)

$\mu(1-\mu)/(1+\phi)$

— gung - Wiedereinsetzung von Monica

90

Ich setze und und gelöst für und . Meine Ergebnisse zeigen, dass und

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

α = (\frac{1 - μ}{σ^{2}} - \frac{1}{μ}) μ^{2}

$\alpha=\left(\frac{1-\mu}{\sigma^2}-\frac{1}{\mu}\right)\mu^2$

β = α (\frac{1}{μ} - 1)

$\beta=\alpha\left(\frac{1}{\mu}-1\right)$

Ich habe einen R-Code geschrieben, um die Parameter der Beta-Verteilung aus einem gegebenen Mittelwert mu und der Varianz var abzuschätzen:

estBetaParams <- function(mu, var) {
  alpha <- ((1 - mu) / var - 1 / mu) * mu ^ 2
  beta <- alpha * (1 / mu - 1)
  return(params = list(alpha = alpha, beta = beta))
}

Es gab einige Verwirrungen um die Grenzen von und für jede gegebene Beta-Distribution, also lassen Sie uns das hier klarstellen. $\mu$ $\sigma^2$

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\in\left(0, 1\right)$
$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}<\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{1}=\mu\left(1-\mu\right)\in\left(0,0.5^2\right)$

— angenommennormal
quelle

2

@stan Damit erhalten Sie die Beta-Distribution, die den gleichen Mittelwert und die gleiche Varianz wie Ihre Daten aufweist. Es wird Ihnen nicht sagen, wie gut die Verteilung zu den Daten passt. Probieren Sie den Kolmogorov-Smirnov-Test aus .

— Angenommen, normal

4

Wenn ich rufe diese Funktion mit estBetaParams(0.06657, 0.1)mir alpha=-0.025, beta=-0.35. Wie ist das möglich?

— Amelio Vazquez-Reina

1

Diese Berechnungen funktionieren nur, wenn die Varianz kleiner als der Mittelwert * (1-Mittelwert) ist.

— Danno

2

@danno - Es ist immer so, dass . Um dies zu sehen, schreiben Sie die Varianz wie folgt um: . Da , .

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2\leq\mu\left(1-\mu\right)$

σ^{2} = \frac{μ (1 - μ)}{α + β + 1}

$\sigma^2=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}$

α + β + 1 \geq 1

$\alpha+\beta+1\geq1$

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2\leq\mu\left(1-\mu\right)$

— Angenommen, normaler

1

@ AmelioVazquez-Reina Wenn Sie mir Ihre Originaldaten mitteilen, wird schnell klar, warum eine Beta-Distribution nicht geeignet ist.

— Glen_b

21

Im Folgenden finden Sie eine allgemeine Methode zum Lösen dieser Art von Problemen mit Maple anstelle von R. Dies funktioniert auch für andere Distributionen:

with(Statistics):
eq1 := mu = Mean(BetaDistribution(alpha, beta)):
eq2 := sigma^2 = Variance(BetaDistribution(alpha, beta)):
solve([eq1, eq2], [alpha, beta]);

was zur Lösung führt

\begin{aligned} α & = - \frac{μ (σ^{2} + μ^{2} - μ)}{σ^{2}} \\ β & = \frac{(σ^{2} + μ^{2} - μ) (μ - 1)}{σ^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align*} \alpha &= - \frac{\mu (\sigma^2 + \mu^2 - \mu)}{\sigma^2} \\ \beta &= \frac{(\sigma^2 + \mu^2 - \mu) (\mu - 1)}{\sigma^2}. \end{align*}$

Dies entspricht der Lösung von Max.

— Erik P.
quelle

5

In R hat die Beta-Verteilung mit den Parametern und Dichte $\textbf{shape1} = a$ $\textbf{shape2} = b$

$f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ ,

für , und . $a > 0$ $b >0$ $0 < x < 1$

In R können Sie es mit berechnen

dbeta (x, shape1 = a, shape2 = b)

In dieser Parametrisierung ist der Mittelwert und die Varianz ist . Sie können jetzt also der Antwort von Nick Sabbe folgen. $E(X) = \frac{a}{a+b}$ $V(X) = \frac{ab}{(a + b)^2 (a + b + 1)}$

Gute Arbeit!

Bearbeiten

Ich finde:

$a = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu^2$ ,

und

$b = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu (1 - \mu)$ ,

wobei und . $\mu=E(X)$ $V=V(X)$

— Ocram
quelle

Mir ist klar, dass meine Antwort den anderen sehr ähnlich ist. Trotzdem glaube ich, dass es immer ein guter Punkt ist, zuerst zu überprüfen, welche Parametrisierung R verwendet ...

— 22.

2

Auf Wikipedia finden Sie zum Beispiel die folgenden Formeln für den Mittelwert und die Varianz einer Beta-Verteilung in Alpha und Beta: und Diese invertieren ( in der unteren Gleichung ausfüllen ) sollte geben Sie das gewünschte Ergebnis (obwohl es einige Arbeit dauern kann).

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

β = α (\frac{1}{μ} - 1)

$\beta=\alpha(\frac{1}{\mu}-1)$

— Nick Sabbe
quelle

1

Wikipedia hat einen Abschnitt über Parameterschätzung, mit dem Sie zu viel Arbeit vermeiden können :)

— RM999

1

$[a,b]$

μ = \frac{a β + b α}{α + β}, σ^{2} = \frac{α β {(b - a)}^{2}}{{(α + β)}^{2} (1 + α + β)}

$\mu=\frac{a\beta+b\alpha}{\alpha+\beta},\quad\sigma^{2}=\frac{\alpha\beta\left(b-a\right)^{2}}{\left(\alpha+\beta\right)^{2}\left(1+\alpha+\beta\right)}$

die invertiert werden kann, um zu geben:

α = λ \frac{μ - a}{b - a}, β = λ \frac{b - μ}{b - a}

$\alpha=\lambda\frac{\mu-a}{b-a},\quad\beta=\lambda\frac{b-\mu}{b-a}$

wo

λ = \frac{(μ - a) (b - μ)}{σ^{2}} - 1

$\lambda=\frac{\left(\mu-a\right)\left(b-\mu\right)}{\sigma^{2}}-1$

— becko
quelle

Ein Benutzer hat versucht, den folgenden Kommentar zu hinterlassen: "Irgendwo hier ist ein Fehler. Die aktuelle Formulierung gibt nicht die richtige Varianz zurück."

— Silverfish

1

$\mu$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$

β = \frac{α (1 - μ)}{μ}

$\beta=\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}$

α

$\alpha$

σ^{2} = \frac{\frac{α^{2} (1 - μ)}{μ}}{(α + \frac{α (1 - μ)}{μ})^{2} (α + \frac{α (1 - μ)}{μ} + 1)}

$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu})^2(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}+1)}$

σ^{2} = \frac{\frac{α^{2} (1 - μ)}{μ}}{(\frac{α}{μ})^{2} \frac{α + μ}{μ}}

$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\frac{\alpha}{\mu})^2\frac{\alpha+\mu}{\mu}}$

σ^{2} = \frac{(1 - μ) μ^{2}}{α + μ}

$\sigma^2=\frac{(1-\mu)\mu^2}{\alpha+\mu}$

α

$\alpha$

— Betrunkenes Herleiten
quelle

0

Ich habe nach Python gesucht, bin aber darauf gestoßen. Das wäre also nützlich für andere wie mich.

Hier ist ein Python-Code zum Abschätzen der Beta-Parameter (gemäß den oben angegebenen Gleichungen):

# estimate parameters of beta dist.
def getAlphaBeta(mu, sigma):
    alpha = mu**2 * ((1 - mu) / sigma**2 - 1 / mu)

    beta = alpha * (1 / mu - 1)

    return {"alpha": 0.5, "beta": 0.1}


print(getAlphaBeta(0.5, 0.1)  # {alpha: 12, beta: 12}

$\alpha$ $\beta$ scipy.stats.beta

— mythicalcoder
quelle