Bayesianische Modellierung unter Verwendung multivariater Normalen mit Kovariaten

Angenommen, Sie haben eine erklärende Variable ${\bf{X}} = \left(X(s_{1}),\ldots,X(s_{n})\right)$ wobei eine bestimmte Koordinate darstellt. Sie haben auch eine Antwortvariable . Jetzt können wir beide Variablen wie folgt kombinieren: $s$ ${\bf{Y}} = \left(Y(s_{1}),\ldots,Y(s_{n})\right)$

W (s) = (\begin{array}{ccc} X (s) \\ Y (s) \end{array}) \sim N (μ (s), T)

${\bf{W}}({\bf{s}}) = \left( \begin{array}{ccc}X(s) \\ Y(s) \end{array} \right) \sim N(\boldsymbol{\mu}(s), T)$

In diesem Fall wählen wir einfach und ist eine Kovarianzmatrix, die das beschreibt Beziehung zwischen und . Dies beschreibt nur den Wert von und bei . Da wir für und mehr Punkte von anderen Positionen haben , können wir weitere Werte von folgendermaßen beschreiben: $\boldsymbol{\mu}(s) = \left( \mu_{1} \; \; \mu_{2}\right)^{T}$ $T$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $s$ $X$ $Y$ ${\bf{W}}(s)$

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) = N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$

Sie werden feststellen, dass wir die Komponenten von und , um alle in einer Spalte zu erhalten, und danach alle miteinander verketten . Jede Komponente ist eine Korrelationsfunktion und ist wie oben. Der Grund, warum wir die Kovarianz ist, dass wir annehmen, dass es möglich ist, die Kovarianzmatrix als zu trennen . $\bf{X}$ $\bf{Y}$ $X(s_i)$ $Y(s_i)$ $H(\phi)_{ij}$ $\rho(s_i, s_j)$ $T$ $T\otimes H(\phi)$ $C(s, s')=\rho(s, s') T$

Frage 1: Wenn ich die Bedingung berechne, generiere ich tatsächlich eine Reihe von Werten von basierend auf , richtig? Ich habe bereits daher wäre ich mehr daran interessiert, einen neuen Punkt vorherzusagen . In diesem Fall sollte eine Matrix definiert sein als ${\bf{Y}}\mid{\bf{X}}$ $\bf{Y}$ $\bf{X}$ $\bf{Y}$ $y(s_{0})$ $H^{*}(\phi)$

H^{*} (ϕ) = (\begin{array}{ccc} H (ϕ) & h \\ h & ρ (0, ϕ) \end{array})

$H^{*}(\phi) = \left(\begin{array}{ccc}H(\phi) & \boldsymbol{h} \\ \boldsymbol{h}& \rho(0,\phi) \end{array}\right)$

in dem ein Vektor . Daher können wir einen Vektor konstruieren (ohne Umlagerung): $\boldsymbol{h}(\phi)$ $\rho(s_{0} - s_{j};\phi)$

W^{*} = {(W (s_{1}), \dots, W (s_{n}), W (s_{0}))}^{T} \sim N (\begin{array}{ccc} 1_{n + 1} \otimes (\begin{array}{ccc} μ_{1} \\ μ_{2} \end{array}) \end{array}, H (ϕ)^{*} \otimes T)

${\bf{W^{*}}} = \left({\bf{W}}(s_{1}), \ldots, {\bf{W}}(s_{n}), {\bf{W}}(s_{0})\right)^{T} \sim N\left(\begin{array}{ccc}\boldsymbol{1}_{n+1} \otimes \left( \begin{array}{ccc} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{array} \right)\end{array}, H(\phi)^{*}\otimes T\right)$

Und jetzt ordne ich mich einfach neu an, um eine gemeinsame Verteilung zu erhalten und erhalten Sie das bedingte . $\left(\begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ x(s_0) \\{\bf{Y}} \\ y(s_0)\end{array} \right)$ $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

Ist das richtig?

Frage 2: Zur Vorhersage zeigt das Papier, das ich lese, dass ich diese bedingte Verteilung und einen posterioren erhalten muss Verteilung , aber ich bin nicht sicher, wie ich die hintere Verteilung für die Parameter erhalten soll. Vielleicht könnte ich die Distribution , die ich denke ist genau das gleiche wie und verwende dann einfach den Satz von Bayes, um $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$ $p(\mu, T, \phi\mid x(s_0), {\bf{Y}}, {\bf{X}})$ $\left(\begin{array}{ccc}{\bf{X}} \\ x(s_0)\\ {\bf{Y}}\end{array}\right)$ $p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)$ $p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}) \propto p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)p(\mu, T, \phi)$

Frage 3: Am Ende des Unterkapitels sagt der Autor Folgendes:

Zur Vorhersage haben wir nicht . Dies schafft keine neuen Probleme, da es als latente Variable behandelt und in Dies führt nur zu einer zusätzlichen Auslosung innerhalb jeder Gibbs-Iteration und ist eine triviale Ergänzung der Rechenaufgabe. ${\bf{X}}(s_0)$ $\bf{x}'$

Was bedeutet dieser Absatz?

Dieses Verfahren finden Sie übrigens in diesem Dokument (Seite 8), aber wie Sie sehen können, brauche ich etwas mehr Details.

Vielen Dank!

— Robert Smith
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Für die Migration pro OP-Anfrage gewählt .

Ich würde Ihre beiden Antworten auf Frage 1 und 2 als richtig bezeichnen . Frage 3 bedeutet, dass das nicht beobachtete als zusätzlicher Parameter zusätzlich zu unter Verwendung der vollständigen Bedingung wie vor .

X (s_{0})

$X(s_0)$

μ, T, ϕ

$\mu,T,\phi$

p (x (s_{0}) ∣ X,, Y, μ, T, ϕ)

$p(x(s_0)\mid{\bf{X}}, , {\bf{Y}},\mu, T, \phi)$

X (s_{0})

$X(s_0)$

— Xi'an

Frage 1: Angesichts Ihres gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsmodells die bedingte Verteilung von gegeben ist auch normal, mit Mittelwert und Varianz-Kovarianz-Matrix

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) \sim N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), [\begin{matrix} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{matrix}]) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) \sim N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), \begin{bmatrix} \boldsymbol\Sigma_{11} & \boldsymbol\Sigma_{12} \\ \boldsymbol\Sigma_{21} & \boldsymbol\Sigma_{22} \end{bmatrix} \right)=N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$

Y

$\bf{Y}$

X

$\bf{X}$

μ_{2} + Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} (X - μ_{1})

$\boldsymbol\mu_2 + \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \left( \mathbf{X} - \boldsymbol\mu_1\right)$

Σ_{22} - Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} Σ_{21} .

$\boldsymbol\Sigma_{22} - \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \boldsymbol\Sigma_{21}.$ (Diese Formeln werden wörtlich von der Wikipedia-Seite über multivariate Normalen kopiert .) Gleiches gilt für seit ist ein weiterer Normalvektor.

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

(y (s_{0}), x (s_{0}), X, Y)

$(y(s_0), x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

Frage 2: Das prädiktive ist definiert als dh durch Integrieren der Parameter unter Verwendung der posterioren Verteilung dieser Posterioren unter Berücksichtigung der aktuellen Daten . Die vollständige Antwort enthält also noch ein bisschen mehr. Wenn Sie nur aus der Vorhersage simulieren müssen, ist Ihre Vorstellung, gemeinsam aus zu simulieren und dann ist ab gültig. $p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

p (y (s_{0}) | x (s_{0}), X, Y) = \int p (y (s_{0}) | x (s_{0}), X, Y, μ, T, ϕ) p (μ, T, ϕ | x (s_{0}), X, Y) d μ d T d ϕ,

$p(y(s_0) | x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(y(s_0)| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,,$

(X, Y, x (s_{0}))

$({\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0))$

p (μ, T, ϕ ∣ X, x (s_{0}), Y)

$p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}})$

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y, μ, T, ϕ)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)$

Frage 3: Falls nicht beobachtet wird, kann das Paar aus einem anderen prädiktiven vorhergesagt werden $x(s_0)$ $(x(s_0),y(s_0))$

p (x (s_{0}), y (s_{0}) ∣ X, Y) = \int p (x (s_{0}), y (s_{0}) ∣ X, Y, μ, T, ϕ) p (μ, T, ϕ ∣ X, Y) d μ d T d ϕ .

$p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,.$

Bei der Simulation mit dieser Vorhersage kann ein Gibbs-Sampler ausgeführt werden, der iterativ simuliert , da er nicht in überschaubarer Form verfügbar ist

$\mu\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\phi$
$T\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),\mu,\phi$
$\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\mu$
$x(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},y(s_0),\phi,T,\mu$
$y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),\phi,T,\mu$

oder führen Sie die Schritte 4 und 5 zu einem einzigen Schritt zusammen

$x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\phi,T,\mu$

— Xi'an
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