Ableiten der posterioren Dichte für eine logarithmische Wahrscheinlichkeit und Jeffreys 'Prior

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer logarithmischen Normalverteilung ist:

$f(x; \mu, \sigma) \propto \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right )$

und Jeffreys 'Prior ist:

$p(\mu,\sigma) \propto \frac{1}{\sigma^2}$

Die Kombination der beiden ergibt also:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

Ich weiß, dass die hintere Dichte für invers Gamma-verteilt ist, also muss ich berechnen$\sigma^2$

$f(\sigma^2|x) = \int f(\mu,\sigma^2|x) d\mu$

aber ich habe keine Ahnung, wo ich hier anfangen soll.

Nach Glen_bs Kommentar probiere ich es aus:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

$= \sigma^{-n-2} \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \exp \left ( - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i - \mu ) \right)$

aber ich kann das nirgendwo sehen.

Eine andere Idee, die ich hatte, ist, zu definieren , dann ist normalverteilt. Damit$y_i=\ln(x_i)$$y$

$f(\mu,\sigma^2 |y) = \left [ \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sigma} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} (y_i - \mu)^2 \right ) \right ] \cdot \frac{1}{\sigma^2}$

=σ-n-2⋅exp(-$\propto \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2 + n(\bar y - \mu)^2 \right )$ =σ-n-2⋅exp(-$= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 + n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$ $= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \exp \left (n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$

dann integrieren:

$\sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu$

Durch die von Ihnen vorgeschlagene Methode erhalte ich:

$\int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu = \sqrt{\frac{2\pi \sigma^2}{n}}$

Damit:

$\propto (\sigma^2)^{-(n+1)/2} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right )$

Das ist in der Tat invers Gamma verteilt.

Aber ich bin mir nicht sicher, ob dies richtig ist, es ist auch das gleiche Ergebnis, das ich für eine normale Wahrscheinlichkeit bekomme.

Ich fand dies in der Literatur (ohne weitere Erklärung):

Beachten Sie, dass - als Funktion in - das, was Sie haben, proportional zu einer normalen Dichte ist.$\mu$

Schritt 1 besteht also darin, das Quadrat in , das sich im Exponenten befindet, zu vervollständigen , die Vorderseite des Integrals alle überflüssigen Konstanten herauszuziehen und dann den Term im Integral mit der Konstante zu multiplizieren, die erforderlich ist, um es zu 1 zu machen. Teilen Sie dann in auf vor dem Integral durch dieselbe Konstante (damit Sie den Wert des Gesamtausdrucks nicht ändern).$\mu$

Da Sie eine Dichte im Integral haben, ersetzen Sie den Term im Integral durch 1.

Sie haben eine Funktion von (eine, die fiktiv durch etwas ersetzt hat, das einer Schätzung ähnelt).$\sigma$$\mu$

Sehen Sie nun die Dichte für ein inverses Gamma hier :

(in diesem Fall unter Verwendung einer Formskalenparametrisierung).

Vorausgesetzt, Sie haben den vorherigen korrekten Wert (das habe ich nicht überprüft) -

Sie suchen eine hintere Dichte für . Beachten Sie, dass Ihre Funktion nach der Integration in der Form . c ⋅ ( σ 2 ) - etwas ⋅ exp ( - etwas anderes / σ 2$\sigma^2$$c\cdot(\sigma^2)^{-\text{something}}\cdot\exp(-\text{something-else}/\sigma^2)$

Sie haben also einen Ausdruck proportional zu einer inversen Gammadichte in . (Da es sich um eine Dichte handeln muss, geben Sie die erforderliche Konstante an, die für die Integration in 1 erforderlich ist.)$\sigma^2$