Was ist die Intuition hinter der Unabhängigkeit von

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Ich hatte gehofft, jemand könnte ein Argument vorschlagen, das erklärt, warum die Zufallsvariablen und , wobei die Standardnormalverteilung hat, statistisch unabhängig sind. Der Beweis für diese Tatsache ergibt sich leicht aus der MGF-Technik, aber ich finde sie äußerst kontraintuitiv. $Y_1=X_2-X_1$ $Y_2=X_1+X_2$ $X_i$

Ich würde mich daher über die Intuition hier freuen, wenn überhaupt.

Danke im Voraus.

BEARBEITEN : Die Indizes enthalten keine Auftragsstatistik, sondern IID-Beobachtungen aus der normalen Standardverteilung.

probability self-study mathematical-statistics

— JohnK
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Was ist die "MGF-Technik"?

— Amöbe sagt Reinstate Monica

@amoeba Es werden Momentgenerierungsfunktionen verwendet, um die Verteilung einer Zufallsvariablen zu bestimmen. In meinem Fall verweise ich auf den Satz, dass

Y_{1}

$Y_1$ und

Y_{2}

$Y_2$ genau dann unabhängig sind, wenn

M (t_{1}, t_{2}) = M (t_{1}, 0) \times M (0, t_{2})

$M(t_1,t_2)=M(t_1,0) \times M(0,t_2)$ ,

M (t_{1}, t_{2})

$M(t_1,t_2)$ ist gleich

E (e^{t_{1} Y_{1} + t_{2} Y_{2}})

$E(e^{t_1Y_1+t_2Y_2})$ . Wählen Sie eine andere Technik und ich bin zuversichtlich, dass Sie das gleiche Ergebnis erzielen.

— JohnK

1

Möglicherweise finden Sie einen Einblick in den eng verwandten Thread unter stats.stackexchange.com/questions/71260 .

— Whuber

Sie erhalten möglicherweise eine gewisse Intuition, wenn Sie überlegen, was mit jedem dieser Elemente geschieht, wenn Sie jedem

eine Konstante hinzufügen, z. B.

. Und was passiert, wenn Sie jedes

mit einer Konstanten multiplizieren , sagen Sie

μ

$\mu$

X

$X$

X

$X$

σ

$\sigma$

— rvl

1

Eng verwandt: Referenz für die Summe und Differenz hochkorrelierter Variablen, die nahezu unkorreliert sind .

— gung - Wiedereinsetzung von Monica

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Dies sind normalverteilte Standarddaten: Streudiagramm im ersten Koordinatensystem Beachten Sie, dass die Verteilung kreislaufsymmetrisch ist.

Wenn Sie zu und wechseln, drehen und skalieren Sie die Achse wie folgt: Dieses neue Koordinatensystem hat denselben Ursprung wie das ursprüngliche und die Achse sind senkrecht. Aufgrund der Kreislaufsymmetrie sind die Variablen im neuen Koordinatensystem weiterhin unabhängig. $Y_1 = X_2 - X_1$ $Y_2 = X_1 + X_2$ Streudiagramm mit gedrehtem Koordinatensystem

— dobiwan
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4

Das Ergebnis gilt auch dann, wenn

und

mit den normalen Rändern der Einheit korreliert sind. Ihre Erklärung deckt also nur einen Teil des ursprünglichen Ergebnisses ab. Die Grundidee hier ist jedoch Ton.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b

1

@ Glen_b, ja, du hast recht. Ich wollte mich auf einen einfachen Fall konzentrieren, da JohnK bereits zu wissen scheint, wie man den allgemeinen Fall beweist, aber das intuitive Verständnis fehlt.

— Dobiwan

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Das Ergebnis funktioniert für gemeinsam normal (dh mit Korrelation ) mit gemeinsamem . $(X_1,X_2)$ $-1<\rho<1$ $\sigma$

Wenn Sie ein paar grundlegende Ergebnisse kennen, ist dies ungefähr alles, was Sie brauchen:

$\quad\quad\quad$ Bildbeschreibung hier eingeben

Der Ansatz von dobiwan ist grundsätzlich in Ordnung - das Ergebnis ist nur allgemeiner als der dort behandelte Fall.

— Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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3

θ = \frac{1}{2} \arctan (\frac{2 ρ \cdot σ_{1} σ_{2}}{σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2}})

$\theta = \frac{1}{2}\arctan\left ( \frac{2\rho\cdot\sigma_1\sigma_2}{\sigma_1^2 - \sigma_2^2}\right )$

\pm \frac{π}{4}

$\pm \frac{\pi}{4}$

(X_{1}, X_{2}) \to (X_{1} + X_{2} . X_{1} - X_{2})

$(X_1,X_2) \to (X_1+X_2. X_1-X_2)$

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$X_1$ $X_2$

Die Indizes enthalten keine Bestellstatistik, sondern Angaben aus der Standardnormalverteilung.

$X_1$ $X_2$

$X_1+X_2$ $X_1-X_2$ $X_1$ $X_2$ $\pm \frac{\pi}{4}$ $(X_1,X_2)\to (X_1+X_2, X_1-X_2)$

$X$ $Y$

$X$ $Y$ $X+Y$ $X-Y$

\begin{aligned} cov (X + Y, X - Y) & = cov (X, X) - cov (X, Y) + cov (Y, X) - cov (Y, Y) \\ = var (X) - cov (X, Y) + cov (X, Y) - var (Y) \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{cov}(X+Y, X-Y) &= \operatorname{cov}(X,X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(Y,X) - \operatorname{cov}(Y,Y)\\ &= \operatorname{var}(X) - \operatorname{cov}(X,Y) + \operatorname{cov}(X,Y) - \operatorname{var}(Y)\\ &= 0. \end{align}$

cov (X, X)

$\operatorname{cov}(X,X)$

var (X)

$\operatorname{var}(X)$

X

$X$

Y

$Y$

cov (Y, X) = cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(Y,X) = \operatorname{cov}(X,Y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

X - Y

$X-Y$

0

$0$

X + Y

$X+Y$

X - Y

$X-Y$

— Dilip Sarwate
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2

$X_1,X_2$ $Y_1$ $Y_2$ $0$ $Y_1,Y_2$

Das bedingte Mittel

$X_1+X_2=y$ $X_1=x, X_2 = y-x$ $X_1 = y-x, X_2=x$

$X_1$ $X_2$ $X_1+X_2$ $X_1 \mid Y_2 = y$ $X_2 \mid Y_2 = y$

E (Y_{1} ∣ Y_{2} = y) = E (X_{1} - X_{2} ∣ X_{1} + X_{2} = y) = E (X_{1} ∣ X_{1} + X_{2} = y) - E (X_{2} ∣ X_{1} + X_{2} = y) = 0.

$\begin{equation} \mathbb{E}(Y_1 \mid Y_2 = y) = \mathbb{E}(X_1 - X_2 \mid X_1+X_2 = y) \\ = \mathbb{E}(X_1 \mid X_1+X_2 = y) - \mathbb{E}(X_2 \mid X_1+X_2 = y)= 0. \end{equation}$

(Einschränkung: Ich habe die Möglichkeit, dass das bedingte Mittel nicht existiert, nicht in Betracht gezogen.)

Ein konstanter bedingter Mittelwert impliziert eine Korrelation / Kovarianz von Null

$Y_1$ $Y_2$ $Y_2$ $Y_1$ $Y_1$ $Y_2$

C o v (Y_{1}, Y_{2}) = E [(Y_{1} - E (Y_{1})) (Y_{2} - E (Y_{2}))]

$\begin{equation} Cov(Y_1,Y_2) = \mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right)\right] \end{equation}$

Y_{2}

$Y_2$

= E [E [(Y_{1} - E (Y_{1})) (Y_{2} - E (Y_{2})) ∣ Y_{2}]] = E [(Y_{2} - E (Y_{2})) E [Y_{1} - E (Y_{1}) ∣ Y_{2}]] .

$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[\left(Y_1 - \mathbb{E}(Y_1)\right)\left(Y_2 -\mathbb{E}(Y_2) \right) \mid Y_2\right]\right] = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1 - \mathbb{E}(Y_1) \mid Y_2\right] \right]. \end{equation}$

Y_{2}

$Y_2$

= E [(Y_{2} - E (Y_{2})) E [Y_{1} - E (Y_{1})]]

$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\mathbb{E}\left[Y_1-\mathbb{E}(Y_1)\right]\right] \end{equation}$

0

$0$

= E [(Y_{2} - E (Y_{2})) \times 0] = 0.

$\begin{equation} = \mathbb{E}\left[(Y_2 - \mathbb{E}(Y_2))\times0\right] = 0. \end{equation}$

Unabhängigkeit

$X_1,X_2$ $Y_1$ $Y_2$ $X_1,X_2$ $Y_1,Y_2$

— Juho Kokkala
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