Wie interpretiere ich Koeffizienten in einer Poisson-Regression?

Wie kann ich die Haupteffekte (Koeffizienten für Dummy-codierten Faktor) in einer Poisson-Regression interpretieren?

Nehmen wir das folgende Beispiel an:

treatment     <- factor(rep(c(1, 2), c(43, 41)), 
                        levels = c(1, 2),
                        labels = c("placebo", "treated"))
improved      <- factor(rep(c(1, 2, 3, 1, 2, 3), c(29, 7, 7, 13, 7, 21)),
                        levels = c(1, 2, 3),
                        labels = c("none", "some", "marked"))    
numberofdrugs <- rpois(84, 10) + 1    
healthvalue   <- rpois(84, 5)   
y             <- data.frame(healthvalue, numberofdrugs, treatment, improved)
test          <- glm(healthvalue~numberofdrugs+treatment+improved, y, family=poisson)
summary(test)

Die Ausgabe ist:

Coefficients:
                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)       1.88955    0.19243   9.819   <2e-16 ***
numberofdrugs    -0.02303    0.01624  -1.418    0.156    
treatmenttreated -0.01271    0.10861  -0.117    0.907   MAIN EFFECT  
improvedsome     -0.13541    0.14674  -0.923    0.356   MAIN EFFECT 
improvedmarke    -0.10839    0.12212  -0.888    0.375   MAIN EFFECT 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Ich weiß, dass die Vorfallrate für numberofdrugsist exp(-0.023)=0.977. Aber wie interpretiere ich die Haupteffekte für die Dummy-Variablen?

Der potenziert numberofdrugsKoeffizient ist der multiplikative Term zu verwenden , um die geschätzte zu berechnen , healthvaluewenn numberofdrugserhöht sich um 1 Einheit. Bei kategorialen (Faktor-) Variablen ist der potenzierte Koeffizient der multiplikative Term relativ zum Basisniveau (erster Faktor) für diese Variable (da R standardmäßig Behandlungskontraste verwendet). Das exp(Intercept)ist das Basisrate und alle anderen Schätzungen würde es relativ sein.

In Ihrem Beispiel wird dies healthvaluefür jemanden mit 2Drogen geschätzt "placebo"und improvement=="none"wäre (unter Verwendung der Addition inside exp als Äquivalent zur Multiplikation):

 exp( 1.88955 + 2*-0.02303 + 0 + 0 )
 [1] 6.318552

Während jemand auf 4Drogen, "treated"und "some"Verbesserung hätte eine Schätzung healthvaluevon

exp( 1.88955 + 4*-0.02303 + -0.01271 + -0.13541)
[1] 5.203388

ADDENDUM: Dies ist, was es bedeutet, "additiv auf der Log-Skala" zu sein. "Additiv auf der Log-Odds-Skala" war der Ausdruck, den meine Lehrerin Barbara McKnight verwendete, um die Notwendigkeit hervorzuheben, alle Termkoeffizienten zu verwenden, die in der logistischen Regression bei jeder Art von Vorhersage angewendet wurden. Sie addieren zuerst alle Koeffizienten mal kovariate Werte und potenzieren dann. Die Methode zur Rückgabe von Koeffizienten aus Regressionsobjekten in R besteht im Allgemeinen in der Verwendung der coef()Extraktionsfunktion (mit einer anderen Zufallsrealisierung):

 coef(test)
  #   (Intercept)    numberofdrugs treatmenttreated     improvedsome   improvedmarked 
  #   1.18561313       0.03272109       0.05544510      -0.09295549       0.06248684 

So ist die Berechnung der Schätzung für ein Subjekt mit 4Drogen, "treated"mit "some"Verbesserung wäre:

 exp( sum( coef(test)[ c(1,2,3,4) ]* c(1,4,1,1) ) ) 
 [1] 3.592999

Und der lineare Prädiktor für diesen Fall sollte die Summe von sein:

 coef(test)[c(1,2,3,4)]*c(1,4,1,1) 
 #    (Intercept)    numberofdrugs treatmenttreated     improvedsome 
 #     1.18561313       0.13088438       0.05544510      -0.09295549

Diese Grundsätze sollten für alle Statistikpakete gelten, die dem Benutzer eine Koeffiziententabelle zurückgeben. Die Methode und die Prinzipien sind allgemeiner, als es aus meiner Verwendung von R hervorgeht.

Ich kopiere ausgewählte Klärungskommentare, da sie in der Standardanzeige "verschwinden":

F: Also interpretieren Sie die Koeffizienten als Verhältnisse! Danke! - MarkDollar

A: Die Koeffizienten sind die natürlichen Logarithmen der Verhältnisse. - DWin

F2: Werden in diesem Fall bei einer Poisson-Regression die potenzierten Koeffizienten auch als "Odds Ratios" bezeichnet? - oort

A2: Nein. Wenn es sich um eine logistische Regression handelt, handelt es sich jedoch um eine Poisson-Regression, bei der die LHS die Anzahl der Ereignisse und der implizite Nenner die Anzahl der gefährdeten Ereignisse ist. Die potenzierten Koeffizienten sind "Ratenverhältnisse" oder "relative Risiken".