Ableitung der bivariaten Poisson-Verteilung

Ich bin kürzlich auf die bivariate Poisson-Verteilung gestoßen, bin jedoch ein wenig verwirrt, wie sie abgeleitet werden kann.

Die Verteilung erfolgt durch:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

Nach allem, was ich zusammenfassen kann, ist der Term $\theta_{0}$ ein Maß für die Korrelation zwischen $X$ und $Y$ ; wenn also $X$ und $Y$ unabhängig sind, ist $\theta_{0} = 0$ und die Verteilung wird einfach zum Produkt zweier univariater Poisson-Verteilungen.

Vor diesem Hintergrund beruht meine Verwirrung auf dem Summationsterm - ich gehe davon aus, dass dieser Term die Korrelation zwischen $X$ und $Y$ .

Es scheint mir, dass der Summand eine Art Produkt binomialer kumulativer Verteilungsfunktionen darstellt, bei dem die Wahrscheinlichkeit des "Erfolges" durch $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ und die Wahrscheinlichkeit eines "Scheiterns" ist gegeben durch $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , weil $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$, aber ich könnte weit davon entfernt sein.

Könnte jemand eine Hilfestellung geben, wie diese Verteilung abgeleitet werden kann? Auch wenn es in einer Antwort enthalten sein könnte, wie dieses Modell auf ein multivariates Szenario erweitert werden könnte (sagen wir drei oder mehr Zufallsvariablen), wäre das großartig!

(Schließlich habe ich bemerkt, dass es zuvor eine ähnliche Frage gab ( Verständnis der bivariaten Poisson-Verteilung ), aber die Ableitung wurde tatsächlich nicht untersucht.)

In einer Folienpräsentation definieren Karlis und Ntzoufras ein bivariates Poisson als die Verteilung von wobei die unabhängig Poisson Verteilungen haben. Denken Sie daran, dass eine solche Verteilung bedeutet$(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

für $k=0, 1, 2, \ldots.$

Das Ereignis $(X,Y)=(x,y)$ ist die disjunkte Vereinigung der Ereignisse

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

für alle , die alle drei Komponenten zu nicht negativen ganzen Zahlen machen, aus denen wir ableiten können . Da die unabhängig sind, multiplizieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten$i$$0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

Dies ist eine Formel; wir sind fertig. Um jedoch zu sehen, dass es der Formel in der Frage entspricht, verwenden Sie die Definition der Poisson-Verteilung, um diese Wahrscheinlichkeiten in Bezug auf die Parameter ; zu schreiben und (vorausgesetzt, dass keines von & thgr; 1, & thgr ; 2 Null ist) algebraisch zu überarbeiten so viel wie möglich aussehen wie das Produkt \ Pr (X_1 = x) \ Pr (X_2 = y) :$\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

Wenn Sie es wirklich wollen, können Sie die Terme in der Summe mit den Binomialkoeffizienten $\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$ Und \ binom erneut ausdrücken {y} {i}$\binom{y}{i}$ , nachgebend

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

genau wie in der frage.

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Die Verallgemeinerung zu multivariaten Szenarien kann je nach erforderlicher Flexibilität auf verschiedene Arten erfolgen. Das einfachste würde die Verteilung von erwägen

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

für unabhängige verteilte Poisson-Variablen X_0 . Für mehr Flexibilität könnten zusätzliche Variablen eingeführt werden. Zum Beispiel verwenden unabhängige Poisson Variablen und die multivariate Verteilung des berücksichtigen ,$X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

Hier ist eine Möglichkeit, die bivariate Poissonverteilung abzuleiten.

Sei unabhängige Poisson-Zufallsvariablen mit den Parametern . Dann definieren wir . Die Variable , beide gemeinsam ein , verursacht das Paar korreliert. Dann müssen wir die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion berechnen:$X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$$(Y_1, Y_2)$

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$
hoffe, das hilft!