Hypervolumen der

Ich suche nach dem assymptotischen ( $n\rightarrow \infty$ ) Wert von ( dem Logarithmus der Determinante von) der Kovarianz der $\alpha$ % der Beobachtungen mit dem kleinsten eukledianischen Abstand zum Ursprung in einer Stichprobe der Größe $n$ die beispielsweise aus einer Bivariate stammt Standard Gauß.

- Das Hypervolumen einer Ellipse ist proportional zur Determinante ihrer Kovarianzmatrix, daher der Titel .--

- Mit Standard bivariate Gaußsche meine ich wobei ein Vektor von 0 der Länge 2 und $\mathcal{N}_2(0_2,\pmb I_2)$ $0_2$ ist die Identitätsmatrix mit Rang 2 .--- $\pmb I_2$

Es ist einfach , durch Simulationen als zu sehen , wenn ist die Zahl um : $\alpha=52/70$ $\approx -1.28$

library(MASS)
n<-10000
p<-2
x<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(2))
h<-ceiling(0.714286*n)
p<-ncol(x)
w<-mahalanobis(x,rep(0,p),diag(p),inverted=TRUE) #These are eucledian distances, because the covariance used is the identity matrix
s<-(1:n)[order(w)][1:h]
log(det(cov(x[s,])))

aber ich erinnere mich nicht, wie man dafür einen genauen Ausdruck erhält (oder wenn dies nicht gelingt, eine bessere Annäherung).

r mathematical-statistics simulation

— user603
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In Ihrem Text sagen Sie nichts über die Parameter der bivariaten Verteilung. Es sieht auch so aus, als ob es in Ihrem Code um Mahalanobis d geht, nicht um Euklidisch d.

— ttnphns

Mit Standard-Gauß meine ich die am Ursprung zentrierte und mit Identitätskovarianz (ich werde dies in bearbeiten). Mahalanobis-Abstand zur Identitätskovarianzmatrix == Eukledianische Abstände.

— user603

Wenn Sie Code verwenden oder Hilfe mit Code suchen, geben Sie bitte an, welche Sprache oder welches Programm Sie verwenden.

— Wolfies

Ok, diese Frage scheint von Zeit zu Zeit aufzutauchen, also werde ich eine allgemeine Antwort geben.

In [1] zeigen die Autoren, dass wenn mit symmetrisch positiv definit und $\pmb x_i\sim \mathcal{N}_p(\pmb \mu,\pmb \varSigma),i=1,\ldots,n$ $\varSigma$ $S_{\alpha}$

\begin{matrix} (0) & {S.}_{α} = {ich :: (x x_{ich} - - μ μ)^{'} Σ^{- - 1} (x x_{ich} - - μ μ) ⩽ q_{α}}} \end{matrix}

$S_{\alpha}=\{i: (\pmb x_i-\pmb\mu)'\varSigma^{-1}(\pmb x_i-\pmb\mu)\leqslant q_{\alpha}\}\label{a}\tag{0}$

für und $q_{\alpha}=\chi^2_{p}(\alpha),\;0<\alpha\leqslant 1$

\begin{matrix} (1) & {C.}_{α} = {cov}_{ich \in {S.}_{α}} x x_{ich} \end{matrix}

$C_{\alpha}=\mbox{cov}_{i\in S_{\alpha}}\pmb x_i\label{b}\tag{1}$

$C_{\alpha}$ $l_{\alpha}\varSigma$

\begin{matrix} (2) & l_{α} = \frac{{F.}_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})}}{α} \end{matrix}

$l_{\alpha}=\frac{ F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})} }{\alpha}\label{c}\tag{2}$

Diese Annäherung ist wirklich gut (hier für Alpha = 60/70):

library(MASS)
alpha<-60/70
p<-2
n<-1000000

radius<-sqrt(qchisq(alpha,df=p))
x0<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(p),empirical=TRUE)
Id<-which(rowSums(x0*x0)<=radius**2)
cov(x0[Id,])

qalpa<-qchisq(alpha,p)
diag(1/(alpha/(pchisq(qalpa,p+2))),p)

$\log$ $[\alpha n]$ $\varSigma=\pmb I_p$ $\pmb \mu=\pmb 0_p$

\begin{matrix} (3) & p Log {F.}_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})} - - p Log α \end{matrix}

$p\log F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})}-p\log\alpha\label{d}\tag{3}$

Croux C., Haesbroeck G. (1999). Einflussfunktion und Effizienz des Streuungsmatrixschätzers mit minimaler Kovarianzdeterminante. Journal of Multivariate Analysis. 71. 161-190.

— user603
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