Berechnung von Effektgrößen und Standardfehlern für die Differenz zwischen zwei standardisierten mittleren Differenzen

Ich habe zwei verwandte Fragen, die sich beide auf eine von mir durchgeführte Metaanalyse beziehen, bei der die primären Ergebnisse als standardisierte mittlere Differenz ausgedrückt werden.

Meine Studien haben mehrere Variablen, mit denen die standardisierte mittlere Differenz berechnet werden kann. Ich möchte wissen, inwieweit die für eine Variable berechneten standardisierten mittleren Differenzen mit den standardisierten mittleren Differenzen für die andere übereinstimmen. Meiner Meinung nach könnte diese Frage als Metaanalyse des Unterschieds zwischen zwei Sätzen standardisierter mittlerer Unterschiede ausgedrückt werden. Ich habe jedoch Probleme, die Effektgröße und den Stichprobenfehler für die Differenz zwischen zwei standardisierten mittleren Unterschieden innerhalb derselben Studie zu bestimmen.

Um mein Problem anders auszudrücken, betrachten Sie eine Zwei-Zustands-Studie mit den Gruppen $g_1$ und und den Ergebnisvariablen und . Diese beiden Ergebnisvariablen sind als korreliert . Wir können standardisierte mittlere Differenzen für und über und berechnen , was , und ihre Stichprobenvarianzen und . Ich habe ein sehr einfaches Schema der folgenden Situation beigefügt. v a r 1 v a r 2 c o r ( v a r 1 , v a r 2 ) v a r 1 v a r 2 g 1 g 2 d v a r 1 d v a r 2 v d v a r 1 v d v a r $g_2$$var_1$$var_2$$cor(var_1, var_2)$$var_1$$var_2$$g_1$$g_2$$d_{var1}$$d_{var_2}$$v_{d_{var_1}}$$v_{d_{var_2}}$

wir nun an, wir berechnen eine Differenz zwischen und als . Ich kann die standardisierte mittlere Differenz zwischen und als berechnen , die eine Stichprobenvarianz . v a $var_1$ d i f f g 1 g 2 d d i f f v d d i f $var_2$$diff$$g_1$$g_2$$d_{diff}$$v_{d_{diff}}$

Was ich tun möchte, ist, und in Bezug auf die folgenden Variablen auszudrücken : v d d i f $d_{diff}$$v_{d_{diff}}$

1. Effektgrößen und , d v a r $d_{var_1}$$d_{var_2}$
2. Stichprobenvarianzen und und v d v a r $v_{d_{var_1}}$$v_{d_{var_2}}$
3. Korrelationskor$cor(var_1, var_2)$

Ich denke, dieses Ziel sollte möglich sein, da in einem einfachen (nicht metaanalytischen) Kontext die Standardabweichung der Differenz zwischen und als angegeben wird v a r $var_1$$var_2$

$sd(var_1)^2 + sd(var_2)^2 - 2 * cor(var_1, var_2) * sd(var_1) * sd(var_2)$

Ich interessiere mich auch für eine etwas kompliziertere Situation, in der man Studien mit 3 (oder mehr) Gruppen hat und daher zwei Sätze standardisierter mittlerer Differenzen zwischen den beiden Kandidatenvariablen berechnet.

Um diese zweite Frage anders auszudrücken, nehmen wir an, dass eine bestimmte Studie drei Gruppen , und sowie zwei Ergebnisvariablen und . Nehmen wir außerdem noch einmal an, dass v a r 1 und v a r 2 als c o r ( v a r 1 , v a r 2 ) korreliert sind .g 2 g 3 v a r 1 v a r $g_1$$g_2$$g_3$$var_1$$var_2$$var_1$$var_2$$cor(var_1, var_2)$

Wählen Sie die Gruppe als Referenzgruppe und berechnen Sie für v a r 1 die Effektgrößen für die Gruppe g 1 gegen g 2 und g 1 gegen g 3 . Dies ergibt zwei Sätze von Effektgrößen für jeweils v a r 1 und v a r 2 - für v a r 1 , d v a r 1 g 1 - g 2 und d v $g_1$$var_1$$g_1$$g_2$$g_1$$g_3$$var_1$$var_2$$var_1$$d_{var1_{g_1 - g_2}}$ , und fürva R 2 , D V a r 2 g 1 - g 2 und d v a r 2 g 1 - g 3 . Dies ergibt auch zwei Stichprobenvarianzen für jeden Satz von Effektgrößen (fürva r 1 , v d v a r 1 g 1 - g 2 und v $d_{var1_{g_1 - g_3}}$$var_2$$d_{var2_{g_1 - g_2}}$$d_{var2_{g_1 - g_3}}$$var_1$$v_{d_{var1_{g_1 - g_2}}}$ , und fürvaR2,v D v a r 2 g 1 - g 2 undV d V a r 2 g 1 - g 3 ) und eine Probenahme Kovarianz für jede Variable ( fürvar1,cov(dvar 1 g 1$v_{d_{var1_{g_1 - g_3}}}$$var_2$$v_{d_{var2_{g_1 - g_2}}}$$v_{d_{var2_{g_1 - g_3}}}$$var_1$, und fürvar2,cov(dvar2 g 1 - g 2 ,DVar2 g 1 - g 3 )) . Ich habe ein sehr einfaches Schema der folgenden Situation beigefügt.$cov(d_{var1_{g_1 - g_2}}, d_{var1_{g_1 - g_3}})$$var_2$$cov(d_{var2_{g_1 - g_2}}, d_{var2_{g_1 - g_3}})$

Wieder kann ich eine Differenzbewertung zwischen und v a r 2 erstellen , was d i f f ergibt . Ich kann dann zwei Sätze von Effektgrößen für diese Differenzbewertung wie oben berechnen und eine standardisierte mittlere Differenz für den Vergleich zwischen g 1 und g 2 (was d d i f f g 1 - g 2 ergibt ) und eine standardisierte mittlere Differenz für die Vergleich zwischen g 1 und g 3 (ergibt$var_1$$var_2$$diff$$g_1$$g_2$$d_{diff_{g_1 - g_2}}$$g_1$$g_3$ . Dieses Verfahren liefert natürlich auch entsprechende Stichprobenvarianzen und Kovarianzen.$d_{diff_{g_1 - g_3}})$

Ich möchte die Effektgrößen, Stichprobenvarianzen und Stichproben-Kovarianzen für wie folgt ausdrücken :$diff$

1. Effektgrößen , d v a r 1 g 1 - g 3 , d v a r 2 g 1 - g 2 und d v a r 2 g 1 - g $d_{var1_{g_1 - g_2}}$$d_{var1_{g_1 - g_3}}$$d_{var2_{g_1 - g_2}}$$d_{var2_{g_1 - g_3}}$
2. Stichprobenvarianzen , v d v a r 1 g 1 - g 3 , v d v a r 2 g 1 - g 2 und v d v a r 2 g 1 - g 3 ,$v_{d_{var1_{g_1 - g_2}}}$$v_{d_{var1_{g_1 - g_3}}}$$v_{d_{var2_{g_1 - g_2}}}$$v_{d_{var2_{g_1 - g_3}}}$
3. Stichproben-Kovarianzen und c o v ( d v a r 2 g 1 - g 2 , d v a r 2 g 1 - g 3 ) und$cov(d_{var1_{g_1 - g_2}}, d_{var1_{g_1 - g_3}})$$cov(d_{var2_{g_1 - g_2}}, d_{var2_{g_1 - g_3}})$
4. Korrelation $cor(var_1, var_2)$

Ich bin erneut der Meinung, dass mein Ziel realisierbar sein sollte, da es möglich ist, die Standardabweichung einer Differenzbewertung zwischen und v a r 2 zu berechnen, wenn s d ( v a r 1 ) , s d ( v a r 2 ) und c o r ( v a r 1 , v a r 2 ) .$var_1$$var_2$$sd(var_1)$$sd(var_2)$$cor(var_1, var_2)$

Mir ist klar, dass meine Fragen etwas kompliziert sind, aber ich habe das Gefühl, dass sie mit ein bisschen kluger Algebra beantwortet werden könnten. Lassen Sie mich wissen, ob ich meine Frage und / oder Notation in irgendeiner Weise klären kann.

Ich kann Ihnen sicherlich eine Antwort auf den ersten Teil Ihrer Frage geben.

Unter Verwendung Ihrer Notation bezeichnen und d v a r 2 die zwei d-Werte (berechnet für dieselben zwei Gruppen) basierend auf zwei verschiedenen abhängigen Variablen und v v a r 1 und v v a r 2 bezeichnen die entsprechende Stichprobenvarianzen, die typischerweise berechnet / geschätzt werden mit: v v a r 1 = $d_{var_1}$$d_{var_2}$$v_{var_1}$$v_{var_2}$ undvvar2=

Sei die Korrelation zwischen den beiden Variablen. Dann kann die Kovarianz zwischen den beiden d-Werten geschätzt werden mit: c o v ( d v a r 1 , d v a r 2 ) = ( $r = cor(var_1, var_2)$Siehe Gleichung (19.27) im Kapitel über stochastisch abhängige Effektgrößen von Gleser und Olkin (2009) imHandbuch für Forschungssynthese und Metaanalyse(2. Aufl.).

Das Kapitel von Gleser und Olkin befasst sich teilweise auch mit Ihrer zweiten Frage. Im Wesentlichen haben Sie das, was die Autoren als "Mehrfachbehandlungsstudie" bezeichnen, und sie liefern auch in diesem Fall Gleichungen für die Kovarianz (siehe Erwartung korrelierter Variablen ). Ihr Fall ist jedoch tatsächlich eine Kombination aus dem Fall "Mehrfachbehandlung" und "Mehrfachendpunkt". Das Ableiten der erforderlichen Kovarianzgleichungen würde einige zusätzliche Arbeit erfordern.

Diese Frage kann mithilfe eines SEM-Ansatzes (Structural Equation Modeling) beantwortet werden. Es kann verwendet werden, solange die Effektgrößen Funktionen der Parameter wie Mittelwerte, Korrelationen und Standardabweichungen sind. Die Abtastkovarianzmatrix wird unter Verwendung der Delta-Methode automatisch in SEM numerisch abgeleitet. Kapitel 3 von Cheung (2015) enthält eine Einführung und Beispiele für diesen Ansatz.

Eines der in diesem Buch verwendeten Beispiele sind die Mehrfachbehandlungsstudien mit mehreren Endpunkten. Hier sind die Syntax und Ausgabe in R.

###################################################
### code chunk number 8: ME_MT
###################################################

## Load the library for SEM
library(lavaan)

## Covariance matrix of the control group for variables 1 and 2
lower <- '11          
          5, 10'
## Convert a lower triangle data into a covariance matrix
Cov1 <- getCov(lower, diag=TRUE, names=c("x1", "x2"))

## Covariance matrix of the treatment group 1 for variables 1 and 2
lower <- '12          
          6, 11'
Cov2 <- getCov(lower, diag=TRUE, names=c("x1", "x2"))

## Covariance matrix of the treatment group 2 for variables 1 and 2
lower <- '13          
          7, 12'
Cov3 <- getCov(lower, diag=TRUE, names=c("x1", "x2"))

## Convert covariance matrices into a list
Cov <- list(Cov1, Cov2, Cov3)

## Means for the three groups
## 10 and 11 are the means for variables 1 and 2
Mean <- list(c(10,11), c(12,13), c(13,14))

## Sample sizes for the groups
N <- c(50, 50, 50)

## Assuming homogeneity of covariance matrices
## You can free this constraint by using different labels
model5 <- 'eta1 =~ c("sd1", "sd1", "sd1")*x1
           eta2 =~ c("sd2", "sd2", "sd2")*x2
           eta1 ~~ c("r", "r", "r")*eta2
           ## The subscripts 0, 1 and 2 represent the means
           ##  of the control and two  treatment groups
           x1 ~ c("m1_0", "m1_1", "m1_2")*1
           x2 ~ c("m2_0", "m2_1", "m2_2")*1
           ## The measurement errors are fixed at 0
           x1 ~~ 0*x1
           x2 ~~ 0*x2
           ## Multiple endpoint effect size 1 for treatment group 1
           ES1_1 := (m1_1 - m1_0)/sd1
           ## Multiple endpoint effect size 2 for treatment group 1
           ES2_1 := (m2_1 - m2_0)/sd2
           ## Multiple endpoint effect size 1 for treatment group 2
           ES1_2 := (m1_2 - m1_0)/sd1
           ## Multiple endpoint effect size 2 for treatment group 2
           ES2_2 := (m2_2 - m2_0)/sd2'

fit5 <- sem(model5, sample.cov=Cov, sample.mean=Mean, 
            sample.nobs=N, std.lv=TRUE, 
            sample.cov.rescale=FALSE)

## Obtain the free parameters in the model
( x <- fit5@Fit@x )

## [1]  3.464102  3.316625  0.522233 10.000000 11.000000 12.000000 13.000000
## [8] 13.000000 14.000000    

## Obtain the sampling covariance matrix of the parameter estimates
VCOV <- vcov(fit5)

## Compute the multivariate effect sizes
( ES <- fit5@Model@def.function(x=x) )
##     ES1_1     ES2_1     ES1_2     ES2_2 
## 0.5773503 0.6030227 0.8660254 0.9045340

## Compute the jacobian for 'defined parameters'
JAC <- lavaan:::lavJacobianD(func=fit5@Model@def.function, x=x)

## Compute the sampling covariance matrix using delta method
ES.VCOV <- JAC %*% VCOV %*% t(JAC)

## Add the variable names for ease of reference
dimnames(ES.VCOV) <- list(names(ES), names(ES))

ES.VCOV
##            ES1_1      ES2_1      ES1_2      ES2_2
## ES1_1 0.04111111 0.02120582 0.02166667 0.01091942
## ES2_1 0.02120582 0.04121212 0.01091942 0.02181818
## ES1_2 0.02166667 0.01091942 0.04250000 0.02160145
## ES2_2 0.01091942 0.02181818 0.02160145 0.04272727

In diesem Beispiel ist der geschätzte Vektor der Effektgrößen ihre Abtastkovarianzmatrix ES bzw. ES.VCOV. ES1_1 und ES2_1 sind die Effektgrößen für Gruppe 1 im Vergleich zur Kontrollgruppe, während ES1_2 und ES2_2 die Effektgrößen Gruppe 2 im Vergleich zur Kontrollgruppe sind.

Referenz

Cheung, MW-L. (2015). Metaanalyse: Ein Ansatz zur Modellierung von Strukturgleichungen . Chichester, West Sussex: John Wiley & Sons, Inc.

Ich bin nicht ganz sicher, wie diese Lösung abgeleitet wurde, aber ich dachte, ich würde sie trotzdem veröffentlichen, damit andere Leute sie bewerten können. Ich dachte auch, dass es sich lohnt, diese Informationen als vollständige Antwort zu veröffentlichen, anstatt sie in den Kommentaren der Antwort von @Wolfgang zu vergraben.

$g_1$$g_2$$g_3$$g_1$$g_2$$g_3$

Auch hier bin ich mir nicht ganz sicher, wie diese Lösung abgeleitet wurde, und ich wäre dankbar für alle Erkenntnisse, die andere liefern könnten.