Enthalten das pdf und das pmf und das cdf die gleichen Informationen?

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Für mich gibt das pdf die gesamte Wahrscheinlichkeit an einem bestimmten Punkt an (im Grunde der Bereich unter der Wahrscheinlichkeit).

Die pmf geben die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Punktes an.

Die cdf geben die Wahrscheinlichkeit unter einem bestimmten Punkt an.

Also für mich haben das pdf und das cdf die gleichen Informationen, aber die pmf nicht, weil sie die Wahrscheinlichkeit für einen Punkt xauf der Distribution angibt .

— Kare
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Wenn zwischen Wahrscheinlichkeitsfunktion und Dichte * unterschieden wird, gilt die PMF nur für diskrete Zufallsvariablen, während die PDF-Datei für kontinuierliche Zufallsvariablen gilt.

* Formale Ansätze können beides umfassen und einen einzigen Begriff für sie verwenden

Das cdf gilt für alle Zufallsvariablen, einschließlich solcher, die weder ein pdf noch eine pmf enthalten.

Bildbeschreibung hier eingeben

(Eine gemischte Verteilung ist nicht der einzige Fall einer Verteilung ohne PDF - oder PMF - Datei. Es ist jedoch eine recht häufige Situation. Berücksichtigen Sie beispielsweise die Menge an Regen pro Tag oder die Menge an Geld, die für Forderungen an gezahlt wird eine Sachversicherungspolice, die entweder durch eine Null-Inflations-Dauerverteilung modelliert werden kann)

Die cdf für eine Zufallsvariable ergibt $X$ $P(X\leq x)$

Die pmf für eine diskrete Zufallsvariable ergibt . $X$ $P(X=x)$

Das PDF selbst gibt keine Wahrscheinlichkeiten an , sondern relative Wahrscheinlichkeiten. Kontinuierliche Verteilungen haben keine Punktwahrscheinlichkeiten. Um die Wahrscheinlichkeiten von pdfs zu erhalten, müssen Sie sie über einen gewissen Zeitraum integrieren - oder zwei cdf-Werte differenzieren.

Es ist schwierig, die Frage "Enthalten sie die gleichen Informationen?" Zu beantworten, da dies davon abhängt, was Sie meinen. Sie können von pdf zu cdf (über Integration) und von pmf zu cdf (über Summierung) und von cdf zu pdf (über Differenzierung) und von cdf zu pmf (über Differenzierung) wechseln. Wenn also eine pmf oder eine pdf vorhanden ist, es enthält die gleichen informationen wie das cdf.

— Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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Glen, könnten Sie helfen, indem Sie eine Referenz angeben, in der ich über "PDF mit relativen Wahrscheinlichkeiten" lesen kann? Es ist sehr interessant und ich erinnere mich nicht, es in meinen Büchern gesehen zu haben. Vielen Dank.

— Alecos Papadopoulos

@Alecos Es ist einfach eine (vielleicht schlecht formulierte) Erklärung der Tatsache, dass während

keine Wahrscheinlichkeit ist, da

f (x)

$f(x)$

ist die Wahrscheinlichkeit, in

, dann kann man sich

als das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit vorstellen, dass eine Variable mit der Dichte

in einem sehr kleinen Abstand von liegt

zu dem Verhältnis, dass sich eine Variable mit der Dichte

im gleichen Intervall befindet. In diesem Sinne drückt es die relative Wahrscheinlichkeit aus.

f (x) d x

$f(x)\,dx$

(x, x + d x)

$(x,x+dx)$

f (x) / g (x)

$f(x)/g(x)$

f

$f$

x

$x$

g

$g$

— Glen_b

Aha. Es ist sicherlich als Annäherung an das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten gültig und sicherlich in empirischen Dichtefunktionen vorhanden, in denen die Dinge notwendigerweise diskret sind.

— Alecos Papadopoulos

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PMFs sind diskreten Zufallsvariablen zugeordnet, PDFs mit kontinuierlichen Zufallsvariablen. Für jeden Zufallstyp existiert die CDF immer (und ist eindeutig), definiert als Abhängig von der Unterstützungsmenge der Zufallsvariablen muss die Dichte (oder Massenfunktion) nicht existieren. (Betrachten Sie die Cantor - Menge und die Cantor - Funktion . Die Menge wird rekursiv definiert, indem Sie 1/3 des Einheitsintervalls entfernen und dann den Vorgang für die Intervalle (0, 1/3) und (2/3, 1) usw. Wiederholen Die Funktion ist definiert als

F_{X} (x) = P {X \leq x} .

$F_X(x) = P\{X \leq x\}.$

X

$X$

, wenn

in der Cantor-Menge ist, und die größte Untergrenze in der Cantor-Menge, wenn

kein Mitglied ist.) Die Cantor-Funktion ist eine vollkommen gute Verteilungsfunktion, wenn Sie

anheften,wenn

und

wenn

. Aber diese cdf hat keine Dichte:

ist überall stetig, aber seine Ableitung ist fast überall 0. Keine Dichte in Bezug auf ein nützliches Maß.

C (x) = x

$C(x) = x$

x

$x$

x

$x$

C (x) = 0

$C(x)= 0$

x < 0

$x < 0$

C (x) = 1

$C(x) = 1$

1 < x

$1 < x$

C (x)

$C(x)$

Die Antwort auf Ihre Frage lautet also: Wenn eine Dichte- oder Massenfunktion existiert, ist sie eine Ableitung der CDF in Bezug auf ein bestimmtes Maß. In diesem Sinne tragen sie die "gleichen" Informationen. ABER PDFs und PMFs müssen nicht existieren. CDFs müssen vorhanden sein.

— Dennis
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Dennis, kannst du klarstellen, was du mit dem Satz " Keine Dichte in Bezug auf ein Maß überhaupt " meinst ? Sicher hat es eine Dichte (Uniform!) In Bezug auf sich.

— Kardinal

μ

$\mu$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

μ

$\mu$

C (x)

$C(x)$ hat keine RN-Ableitung.

— Dennis

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σ

$\sigma$

2

Die anderen Antworten verweisen auf die Tatsache, dass CDFs grundlegend sind und existieren müssen, wohingegen PDFs und PMFs nicht existieren und nicht unbedingt existieren müssen.

$S^1$

Die Antwort scheint mir zu sein, dass die fundamentale Funktion das Wahrscheinlichkeitsmaß ist , das jede (betrachtete) Teilmenge des Probenraums einer Wahrscheinlichkeit zuordnet. Dann ergeben sich CDF, PDF und PMF, wenn sie existieren, aus dem Wahrscheinlichkeitsmaß.

— Joel Bosveld
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So wie ich es gesehen habe, definieren die meisten Lehrbücher "Zufallsvariable" als eine Abbildung von einem Beispielraum auf die reellen Zahlen. Grundsätzlich ist eine "Zufallsvariable" ein reeller Wert.

— Neil G

1

(R, B, F)

$(\mathbb{R}, \frak{B}, \mathrm{F})$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

Ω

$\Omega$

μ

$\mu$

F_{X} (x) = μ {ω | X (ω) \leq x} .

$F_X(x) = \mu\{\omega\, |\, X(\omega) \leq x\}.$