Was ist der Unterschied zwischen PSD und der quadratischen Größe des Frequenzspektrums?

Das Leistungsspektrum eines Signals kann berechnet werden, indem der Quadratwert seiner Fouriertransformation genommen wird. Als Audio-Person wäre das Signal von Interesse für mich eine Zeitreihe.

Wie unterscheidet sich diese Darstellung von einer PSD (Power Spectral Density) und in welchen praktischen Situationen sollte man eine PSD anstelle des oben beschriebenen Leistungsspektrums verwenden?

— learnvst
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Die Leistungsspektraldichte beschreibt die Leistungsdichte in einem stationären Zufallsprozess $X(t)$ pro Frequenzeinheit. Nach dem Wiener-Khinchin-Theorem kann es für einen stationären Zufallsprozess mit weitem Sinn wie folgt berechnet werden:

S_{x x} (f) = \int_{- \infty}^{\infty} r_{x x} (τ) e^{- j 2 π f τ} d τ

$S_{xx}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} r_{xx}(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau$

wobei $r_{xx}(\tau)$ die Autokorrelationsfunktion des Prozesses $X(t)$ :

r_{x x} (τ) = E (X (t) X (t - τ))

$r_{xx}(\tau) = \mathbb{E}\left(X(t)X(t - \tau)\right)$

Dies gilt nur für einen stationären Weitwinkelprozess, da seine Autokorrelationsfunktion nur eine Funktion der Zeitverzögerung $\tau$ und nicht der absoluten Zeit $t$ ; anders ausgedrückt bedeutet dies, dass sich die Statistiken zweiter Ordnung nicht in Abhängigkeit von der Zeit ändern.

Wenn Sie jedoch über ein ausreichend detailliertes und genaues statistisches Modell für Ihr Signal verfügen, können Sie die spektrale Leistungsdichte unter Verwendung der obigen Beziehung berechnen. Dies kann beispielsweise verwendet werden, um die spektrale Leistungsdichte von Kommunikationssignalen zu berechnen, wenn die Statistik der von dem Signal getragenen Informationssymbole und jegliche während der Übertragung verwendete Impulsformung gegeben ist.

In den meisten praktischen Situationen ist diese Informationsebene jedoch nicht verfügbar, und es muss auf die Schätzung der Leistungsspektraldichte eines gegebenen Signals zurückgegriffen werden. Ein sehr einfacher Ansatz besteht darin, die quadratische Größe ihrer Fouriertransformation (oder vielleicht die quadratische Größe mehrerer kurzzeitiger Fouriertransformationen ) als Schätzung der PSD zu nehmen und diese zu mitteln. Unter der Annahme, dass das von Ihnen beobachtete Signal eine stochastische Komponente enthält (was häufig der Fall ist), ist dies wiederum nur eine SchätzungWas die wahre zugrunde liegende PSD ist, basiert auf einer einzigen Erkenntnis (dh einer einzigen Beobachtung) des Zufallsprozesses. Ob das von Ihnen berechnete Leistungsspektrum eine signifikante Ähnlichkeit mit der tatsächlichen PSD des Prozesses aufweist, ist situationsabhängig.

Wie in diesem vorherigen Beitrag erwähnt , gibt es viele Methoden zur PSD-Schätzung. Welche Methode am besten geeignet ist, hängt von der Art des zufälligen Vorgangs, eventuell vorhandenen A-priori- Informationen und den Merkmalen des Signals ab, an dem Sie am meisten interessiert sind.

— Jason R
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Ich stimme zu, möchte aber darauf hinweisen, dass jede explorative Messung des realen Rauschens / Signals nur eine Schätzung ist. Akzeptieren, dass wir "gut genug" formulieren müssen; ein Kriterium. Dann können wir aus dem Lärmzug aussteigen und eine Schätzung akzeptieren, die der "Lärmzahl" der Anwendung entspricht. Akzeptiere einige Misserfolge im Leben und du kannst einige Siege haben.

— Rogers