Unterschiede zwischen Filterung und Polynom-Regressionsglättung?

Was sind die Unterschiede zwischen der klassischen Tiefpassfilterung (mit einem IIR oder FIR) und der "Glättung" durch lokalisierte polynomielle Regression und / oder Interpolation N-ten Grades (im Fall der Aufwärtsabtastung), insbesondere in dem Fall, in dem N größer als 1 ist? aber weniger als die lokale Anzahl der in der Regressionsanpassung verwendeten Punkte.

Sowohl die Tiefpassfilterung als auch die Glättung der Polynomregression können als Annäherungen an eine Funktion angesehen werden. Die Mittel dafür sind jedoch unterschiedlich. Die Schlüsselfrage lautet hier: "Kannst du eins in Bezug auf das andere tun?" und die kurze Antwort ist "nicht immer" aus Gründen, die unten erläutert werden.

Beim Glätten durch Filtern ist die Tastenoperation eine Faltung mit , die sich im Frequenzbereich in y = F - 1 ( F ( x ) F ( h ) ) umsetzt, wobei F bezeichnet die diskrete Fouriertransformation (und F - 1 die Umkehrung). Die diskrete Fourier-Transformation (z. B. F ( x ) ) bietet eine Approximation von $y(n)=x(n)*h(n)$$y=F^{-1}(F(x)F(h))$$F$$F^{-1}$$F(x)$$x$als Summe der trigonometrischen Funktionen. Wenn ein Tiefpassfilter ist, bleibt eine kleinere Anzahl von Niederfrequenzkomponenten erhalten und die abrupten Änderungen in x werden geglättet. Hiermit wird die Tiefpassfilterung im Kontext der Funktionsapproximation festgelegt, indem trigonometrische Funktionen als Basisfunktionen verwendet werden. Es lohnt sich jedoch, die Faltungsformel zu überdenken und zu beachten, dass beim Filtern y (n) (die Ausgabe des Filters) von x ( abhängt. n ) sowie eine gewichtete Summe vergangener Stichproben von x (die Gewichtung hier bestimmt durch die "Form" von h ). (Ähnliche Überlegungen gelten natürlich für IIR-Filter mit der Hinzufügung vergangener Werte von y $h$$x$$x(n)$$x$$h$ auch)$y(n)$

Beim Glätten mit einem n-Grad-Polynom hängt die Ausgabe des Interpolanten nur von und einer Mischung von (verschiedenen) Basisfunktionen (auch als Monome bezeichnet ) ab. Was sind diese verschiedenen Basisfunktionen? Es ist eine Konstante ( a 0 x 0 ), eine Linie ( a 1 x ), eine Parabel ( a 2 x 2 ) und so weiter (siehe dazu für eine schöne Abbildung). Wenn es sich jedoch um zeitlich gleich weit entfernte Stichproben handelt und dies aus Gründen der Genauigkeit der Fall ist, wird normalerweise die Newtonsche Form des Polynoms verwendet$x(n)$$a_0x^0$$a_1x$$a_2x^2$. Der Grund, warum ich dies zitiere, ist, dass es einfach zu erkennen ist, dass Sie beim Ausführen einer linearen Interpolation einen Filterkern konstruieren können, der eine linear gewichtete Summe verfügbarer Abtastwerte zurückgibt, genau wie ein Interpolationspolynom niedriger Ordnung "Linien" zum Interpolieren verwenden würde zwischen zwei Proben. In höheren Graden würden die beiden Approximationsmethoden jedoch unterschiedliche Ergebnisse liefern (aufgrund der Unterschiede in den Basisfunktionen).

Wie ich oben schrieb, ist es nicht streng, vergangene Werte von nicht zu berücksichtigen . Dies ist ein subtiler Punkt. Denn normalerweise werden beim Erstellen eines Polynoms die Werte außerhalb des angegebenen Intervalls ("Vergangenheit" und "Zukunft" eines Signals) nicht berücksichtigt. Es ist jedoch möglich, diese einzuschließen, indem die Ableitungen an den Rändern des Intervalls fixiert werden. Und wenn dies wiederholt durchgeführt wird (wie bei einem nicht überlappenden Schiebefenster), werden effektiv die "vergangenen Abtastwerte" von x (n) berücksichtigt. (Dies ist der Trick, den Splines verwenden, und tatsächlich gibt es einen Faltungsausdruck für die bikubische Interpolation . Beachten Sie jedoch, dass die Interpretation von x bei Splines unterschiedlich ist$x(n)$$x$ -Notiz zum Thema Normalisierung-)

Der Grund für die Verwendung von Filtern als Interpolation, beispielsweise im Fall von "Sinc Interpolation", ist, dass dies auch aus physikalischer Sicht sinnvoll ist. Die idealisierte Darstellung eines bandbegrenzten Systems (z. B. eines (linearen) Verstärkers oder einer Linse in einem optischen System ) im Zeitbereich ist der Sinc-Puls. Die Frequenzdomänendarstellung eines Sinc-Impulses ist ein Rechteck "Impuls".$x^3$beispielsweise). Ich spreche streng genommen von Zwängen, die durch Interpolation auferlegt werden, wenn versucht wird, objektiv fehlende Werte zu "erraten".

Es gibt keine universelle "beste Methode", es hängt ziemlich stark von dem Interpolationsproblem ab, mit dem Sie konfrontiert sind.

Ich hoffe das hilft.

PS (Die Artefakte, die durch jede der beiden Approximationsmethoden erzeugt werden, sind ebenfalls unterschiedlich, siehe zum Beispiel das Gibbs-Phänomen und die Überanpassung , obwohl die Überanpassung "auf der anderen Seite" Ihrer Frage steht.)

Schöne Frage und aufschlussreiche Antworten. Ich wollte einige Einsichten wie folgt teilen. Es gibt orthogonale Polynombasen, wie zum Beispiel die Polynombasen von Legendre (im Gegensatz zu Monombasen), die stabiler sind, um Polynome höheren Grades anzupassen. Da die in Shannons Interpolationsformel (die in der Tat auch als Faltungsoperation und damit als Filteroperation angesehen werden kann) verwendeten Sinc-Basen orthogonale Basen für einen bandbegrenzten Hilbert-Raum sind, können orthogonale Polynombasen dazu dienen, eine größere Klasse von Funktionen anzunähern, die nicht in der Bandbegrenzung enthalten sind Raum zusammen mit der Kraft der Orthogonalität mit ihnen.

Polynomfilterung (keine Interpolation) gibt es auch in der Chemie-Literatur seit 1960. Eine gute Vorlesungsnotiz zur Wiederholung dieses Themas wurde von R. Schäfer mit dem Titel Was ist der Savitzky-Golay-Filter, Link: http: // www-inst, verfasst. eecs.berkeley.edu/~ee123/fa12/docs/SGFilter.pdf