Wann wird die DTFT gegen die DFT (und ihre Umkehrungen) in der Analyse verwendet?

In vielen meiner Lesungen nehmen manche Autoren, wenn sie über das Arbeiten im Frequenzbereich (Transformationsbereich) (eines digitalen Signals) sprechen, häufig die DFT oder die DTFT (und natürlich ihre entsprechenden Inversen). Verschiedene Autoren neigen dazu, mit dem einen oder anderen zu arbeiten.

Ich konnte diesbezüglich noch kein bestimmtes Muster feststellen. Warum sollten Sie in diesem Fall die DTFT anstelle der DFT auswählen oder umgekehrt, um Algorithmen zu erläutern? Wo hilft dir einer über den anderen?

DFT und DTFT sind offensichtlich ähnlich, da sie beide das Fourierspektrum zeitdiskreter Signale erzeugen. Während die DTFT so definiert ist, dass sie ein unendlich langes Signal verarbeitet (Summe von - unendlich bis unendlich), ist die DFT so definiert, dass sie ein periodisches Signal verarbeitet (wobei der periodische Teil eine endliche Länge hat).

Wir wissen, dass die Anzahl der Frequenzbereiche in Ihrem Spektrum immer der Anzahl der verarbeiteten Abtastwerte entspricht. Dies führt auch zu einem Unterschied in den von ihnen erzeugten Spektren: Das DFT-Spektrum ist diskret, während das DTFT-Spektrum kontinuierlich ist (beide sind jedoch periodisch mit Bezug auf die Nyquist-Frequenz).

Da es unmöglich ist, eine unendliche Anzahl von Abtastwerten zu verarbeiten, ist die DTFT für die tatsächliche Rechenverarbeitung von geringerer Bedeutung. es existiert hauptsächlich zu analytischen Zwecken.

Die DFT ist jedoch mit ihrer endlichen Eingangsvektorlänge perfekt für die Verarbeitung geeignet. Die Tatsache, dass das Eingangssignal ein Ausschnitt eines periodischen Signals sein soll, wird jedoch meistens ignoriert: Wenn Sie ein DFT-Spektrum zurück in den Zeitbereich transformieren, erhalten Sie dasselbe Signal, in dem Sie das Spektrum berechnet haben den ersten Platz.

Obwohl es für die Berechnungen keine Rolle spielt, sollten Sie beachten, dass das, was Sie dort sehen, nicht das tatsächliche Spektrum Ihres Signals ist . Dies ist das Spektrum eines theoretischen Signals, das Sie erhalten würden, wenn Sie den Eingangsvektor periodisch wiederholen würden.

Ich würde also in der von Ihnen erwähnten Literatur davon ausgehen, dass der Autor jedes Mal, wenn es wichtig ist, dass das Spektrum, mit dem Sie arbeiten, tatsächlich das Spektrum ist und die rechnerische Seite der Dinge außer Acht lässt, die DTFT auswählt.

Die DTFT wird verwendet, wenn die Mathematik zum Nachweisen eines bestimmten Punkts einfacher ist (spart Papier und / oder Kreide), wenn eine unendliche Anzahl von Proben angenommen wird. Das bedeutet, dass es in der realen Welt eigentlich nutzlos ist (Sie werden lange tot sein, bevor Sie feststellen, dass Sie genug Proben haben).

Die DFT ist, wenn Sie eine nützliche endliche Anzahl von Samples auswählen, mit denen Sie arbeiten können (was Ihnen eine schöne quadratische Matrix mit endlicher Größe und multipliziertem exakten Äquivalent gibt), unabhängig davon, ob sie periodisch sind oder nicht (vorausgesetzt, die Periodizität der Frame-Länge ist eine weitere Illusion in den Köpfen einiger Leute (um die Mathematik wieder leichter verständlich zu machen). Die Verwendung einer DFT impliziert daher normalerweise ein Fenster (rechteckig, wenn nicht etwas anderes), das in der DTFT nicht erforderlich ist. Dieses Fenster bringt manchmal böse Artefakte mit sich sowie den offensichtlichen Informationsverlust über das Signal außerhalb des Fensters, was ein Nachteil der DFT ist.

$-\infty$$+\infty$