F (x) = 0 vs. || F (x) || ^ 2-> min

In vielen Anwendungsbereichen muss ein nichtlineares Gleichungssystem gelöst werden Manchmal wird die Formulierung verwendet. Natürlich ist jede Lösung \ hat {x} von F (x) = 0 auch eine Lösung des zweiten Problems; Das Gegenteil ist auch der Fall (wenn eine Lösung existiert).

$$F(x) = 0.$$ $$\|F(x)\|^2 \to\min$$ $\hat{x}$$F(x)=0$

Die Frage ist, ob man a priori sagen kann, welche Formulierung für ein bestimmtes Problem besser geeignet ist. Haben die Leute schon einmal daran gearbeitet?

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Ein Beispiel

Betrachten Sie die Funktion

$$F(x, y) = \begin{pmatrix} x^3 - 3x y^2 - 1\\ 3 x^2 y - y^3 \end{pmatrix}.$$ Es hat die drei Wurzeln $x_1=(1,0)$ (grün in der Abbildung unten), $x_2=(-0.5,\sqrt{3}/2)$ (blau), $x_3=(-0.5,-\sqrt{3}/2)$ (rot). Wenn Sie die Newtonsche Methode auf F anwenden $F$, bestimmt der Ausgangspunkt, zu welcher der drei Lösungen wir konvergieren.

Je dunkler die Farbe, desto mehr Newton-Iterationen waren erforderlich. Die typischen Newton-Fraktale erscheinen.

Beim Auffinden kritischer Punkte $\nabla (\|F(x)\|^2) = 0$ ist das Bild, ebenfalls mit Newtons Methode, etwas anders.

Beachten Sie, dass der Punkt ein kritischer Punkt von , aber keine Lösung von .$(0,0)$$\|F(x)\|^2$$F(x)=0$

Dies zeigt ein mögliches Problem mit der Formulierung auf.$\min$

Sie haben in der Frage nette Grafiken verwendet, aber ich glaube, ich habe die Frage in dieser Antwort , die ein weiteres Beispiel enthält, ziemlich klar beantwortet .

Zusammenfassend haben wir mit einem Optimierungsproblem begonnen, das eine einzigartige Lösung hatte, die wir garantieren konnten, dass eine Methode gefunden wird. Wir haben es als nichtlineares Wurzelfindungsproblem umformuliert, das eine einzigartige Lösung hatte, die wir lokal identifizieren konnten, aber eine Wurzelfindungsmethode (wie Newton) könnte stagnieren, bevor sie erreicht wird. Anschließend haben wir das Problem der Wurzelfindung als Optimierungsproblem mit mehreren lokalen Lösungen umformuliert (es kann keine lokale Maßnahme verwendet werden, um festzustellen, dass wir nicht das globale Minimum erreichen).

Im Allgemeinen werden die verfügbaren Methoden und die damit verbundenen Konvergenzgarantien jedes Mal schwächer, wenn wir ein Problem von der Optimierung in das Rootfinding oder umgekehrt konvertieren. Die tatsächliche Mechanik der Methoden ist oft sehr ähnlich, so dass es möglich ist, viel Code zwischen nichtlinearen Lösern und Optimierung wiederzuverwenden.

Sie können Ihre Frage gerne verfeinern, wenn Sie etwas Spezifischeres fragen möchten.