Symbolische Softwarepakete für Matrix-Ausdrücke?

Wir wissen, dass symmetrisch und positiv definit ist. Wir wissen, dass orthogonal ist:$\mathbf A$$\mathbf B$

Frage: symmetrisch und positiv-definit? Antwort: ja$\mathbf B \cdot\mathbf A \cdot\mathbf B^\top$

Frage: Könnte uns ein Computer das gesagt haben? Antwort: Vermutlich.

Gibt es symbolische Algebrasysteme (wie Mathematica), die bekannte Fakten über Matrizen verarbeiten und verbreiten?

Edit: Um klar zu sein, stelle ich diese Frage zu abstrakt definierten Matrizen. Dh ich habe keine expliziten Einträge für und , ich weiß nur, dass sie beide Matrizen sind und bestimmte Attribute wie symetrisch, positiv definit, usw. haben.$A$$B$

Bearbeiten: Dies ist jetzt in SymPy

$ isympy
In [1]: A = MatrixSymbol('A', n, n)
In [2]: B = MatrixSymbol('B', n, n)
In [3]: context = Q.symmetric(A) & Q.positive_definite(A) & Q.orthogonal(B)
In [4]: ask(Q.symmetric(B*A*B.T) & Q.positive_definite(B*A*B.T), context)
Out[4]: True

Ältere Antwort, die andere Arbeit zeigt

Nach einer Weile habe ich das gefunden.

Die aktuelle Antwort auf meine spezielle Frage lautet "Nein, es gibt kein aktuelles System, das diese Frage beantworten kann." Es gibt jedoch ein paar Dinge, die nahe zu kommen scheinen.

Zunächst wiesen Matt Knepley und Lagerbaer beide auf Arbeiten von Diego Fabregat und Paolo Bientinesi hin . Diese Arbeit zeigt sowohl die potenzielle Bedeutung als auch die Machbarkeit dieses Problems. Es ist eine gute Lektüre. Leider weiß ich nicht genau, wie sein System funktioniert oder wozu es in der Lage ist (falls jemand anderes öffentliches Material zu diesem Thema kennt, lass es mich wissen).

Zweitens gibt es eine für Mathematica geschriebene Tensor-Algebra-Bibliothek namens xAct, die Symmetrien und dergleichen symbolisch handhabt. Es macht einige Dinge sehr gut, ist aber nicht auf den Spezialfall der linearen Algebra zugeschnitten.

Drittens werden diese Regeln in einigen Bibliotheken für Coq formell niedergeschrieben , einen Assistenten zur Prüfung von Theoremen (Google-Suche nach coq linear / matrix algebra, um einige zu finden). Dies ist ein mächtiges System, das leider menschliche Interaktion zu erfordern scheint.

Nach einem Gespräch mit einigen Theorembeweisern schlagen sie vor, sich mit Logikprogrammierung (dh Prolog, das auch Lagerbaer vorschlug) für diese Art von Dingen zu befassen. Soweit ich weiß, ist dies noch nicht geschehen - ich werde vielleicht in Zukunft damit spielen.

Update: Ich habe dies mit dem Maude-System implementiert . Mein Code wird auf Github gehostet

Einige symbolische Matrixberechnungen (z. B. Blockmatrix-Vervollständigung) können mit dem Paket NCAlgebra http://www.math.ucsd.edu/~ncalg/ (das unter mathematica ausgeführt wird) durchgeführt werden.

Bergman http://servus.math.su.se/bergman/ ist ein Paket in Lisp mit ähnlichen Funktionen.

Einige relevante Artikel:
http://math.ucsd.edu/~helton/osiris/COMPALG2000/ohRevisIJC.pdf
http://math.ucsd.edu/~thesis/thesis/dkronewitter/dkronewitter.pdf
http: // www. tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207170600882346

CAS2x23x3$\mathbf B$

Die Frage wird dann, was ist mit einer Ndimensionalen Matrix? Vielleicht können Sie ein induktives Schema entwickeln, bei dem N-1 x N-1angenommen wird, dass für wahr ist, und dann eine neue Blockmatrix mit der Gesamtgröße erstellen, um N x Nzu beweisen, dass dies positiv, eindeutig und symmetrisch ist.

Die letzte Frage, welche Software für die Aufgabe besser geeignet ist (falls vorhanden), ist meine Erfahrung mit MATLAB/MuPadund Derive(benutze sie immer noch), und keiner von beiden kann sehr gut mit Vektoren und Matrizen umgehen. MATLABZerlegt alles in Komponenten und Derivekann deklarieren Non-scalars, wendet jedoch keine Vereinfachungsregeln auf sie an.

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec b)\vec c - (\vec a \cdot \vec c) \vec b$

Es ist schon eine Weile her, dass ich eines dieser Pakete zum letzten Mal verwendet habe, aber ich dachte, dass Sie dies in Sprachen wie Mathematica mithilfe von Behauptungen tun könnten. So etwas wie Assert [A, Symmetric] sagt Mathematica, dass A eine symmetrische Matrix ist und so weiter. Im Moment habe ich keinen Zugriff auf eines der beiden Handys, daher muss dies überprüft werden.

Maple 15 kann das nicht. Es hat keine Eigenschaft "Orthogonal" für Matrizen (obwohl es Symmetric und PositiveDefinite hat).

In Mathematica können Sie diese Eigenschaften zumindest für bestimmte Matrizen überprüfen. Zum Beispiel die Avon Ihnen beschriebene Matrix :

In[1]:= A = {{2.0,-1.0,0.0},{-1.0,2.0,-1.0},{0.0,-1.0,2.0}};
        {SymmetricMatrixQ[A],PositiveDefiniteMatrixQ[A]}
Out[2]= {True,True}

Für die Matrix B:

In[3]:= B = {{0, -0.80, -0.60}, {0.80, -0.36, 0.48}, {0.60, 0.48, -0.64}};
        Transpose[B] == Inverse[B]
Out[4]= True

Dann:

In[5]:= c = B.A.Transpose[B];
        {SymmetricMatrixQ[c],PositiveDefiniteMatrixQ[c]}
Out[6]= {True,True}

Mathematica-Matrizen und lineare Algebra-Dokumentation